算法练习——0-1背包问题（回溯法）

0-1背包问题（回溯法）

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题目：

给定n个重量为w1，w2，w3，…,wn，价值为v1，v2，v3，…,vn的物品和容量为C的背包
求这个物品中一个最有价值的子集，使得在满足背包的容量的前提下，包内的总价值最大

注意：0-1背包问题指的是每个物品只能使用一次

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示例：

示例：

输入：
	int[] weight = {2,5,3,4};
	int[] value = {10,7,4,6};
	int c = 10;
输出：21
解释：重量上限c=10，最大能装重量为2、5、3的三件物品，价值为10+7+4=21

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分析：

首先我们先来了解一下回溯法：

回溯法（探索与回溯法）

是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。——来自百度百科

其实我觉得这次百度的解释还挺好理解的，如果还是有点不理解，那我在这里再举个例子：

（这张图是国产悬疑游戏《完美的一天》里的地图，截图来自B站up渗透之C君的实况视频，这里仅用来举例说明回溯法，若有问题及时删除）

这里我们一开始假设在振华西站，最终目的地是要到达百姓银行，限时1个小时，到各节点的时间是：
                        振华西站→盘旋路：20分钟
 盘旋路→小西湖：20分钟       盘旋路→石排巷：10分钟
小西湖→百姓银行：20分钟     石排巷→百姓银行：25分钟

当然我们一看就知道怎么走是最快捷的，但程序不知道啊，程序就要去试。
先尝试振华西站→盘旋路→小西湖→百姓银行=60分钟。程序不知道好不好，只知道这个满足要求，那就先存下来；
再尝试振华西站→盘旋路→石排巷→百姓银行=55分钟。嗯，这个更快，保存这个。

这时我们发现，其实振华西站→盘旋路这段20分钟的路是完全一样的，所以程序在执行完第一次后只需要回到盘旋路，接着执行下一次的就行了，这里这个回到盘旋路的操作就是回溯，这样的方法就是回溯算法。
其实程序还会执行那条更远的路，但很明显不可能满足限时条件，所以便舍弃，这就是回溯算法的优化——剪枝
（ps.其实就是懒得写）

题目解析：

然后我们回归这道题，在0-1背包问题里，每个物品只有两种情况，放入背包 和 不放入背包，这样我们就可以使用1和0来表示，然后对没个物品进行判断，便得到了一棵树：

起始点：        x        
           /       \
物品1：    1        0
         / \       / \
物品2： 1    0    1    0
       /\   /\   /\   /\
物品3：1 0  1 0  1 0  1 0   

我们假设从起始点x开始，用回溯法遍历所有可能，那就是先x111，然后回溯一位再执行x110，再回溯执行xx101……其实有点像树的遍历思想，每一个都尝试一遍。

但是宝友儿，这可不兴算啊！这样尝试下来计算量太大了，还很慢，那我们可以优化一下：
在每一次把新物品放入背包时，加一个限定条件，当前剩余的空间够放这个新的物品时，我们才放进来，不然的话便舍弃这条枝干。形象点说，这就是剪枝。

 if (nowSumWeight + weight[node] <= c)

好了，主题讲完了，可以开始尝试了！

注意：回溯的时候一定要把之前放入背包的东西拿出来，不然这算哪门子的回溯，无限套娃呢隔这儿？？

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代码：

先看上面的分析！自己理解思考一下，不要急着看代码！

//定义属性
	static int maxValue = 0; //最大价格
    static int nowSumValue = 0; //当前放入背包的物品总价格
    static int nowSumWeight = 0; //当前放入背包的物品总重量

//测试方法
    @Test
    public void test(){
        int[] weight = {2,5,3,4};
        int[] value = {10,7,4,6};
        int c = 10;
        backtrack(0,weight,value,c);//不能放入sout，不然返回的不是最优解
        System.out.println(maxValue);//输出maxValue才是最终答案
    }

//算法主体
public int backtrack(int node, int[] weight, int[] value, int c){
        int num = weight.length;
        int[] flag = new int[num];//是否放入背包的标志位，1为放，0为不放
        Arrays.fill(flag, 0);//将flag数组清空

        if (node > num - 1){
            //是最低一级的叶子节点
            if (maxValue < nowSumValue) maxValue = nowSumValue;
            return maxValue;//返回最大价值
        }else {
            //不是最低一层的子节点,那就进行遍历
            //每一个物品只有两种情况，1为放入背包，0为不放入背包
            for (int i = 0; i < 1; i++) {
                flag[node] = i;//把两种情况分别放在flag数组里
                switch (i){
                    case 0: backtrack(node + 1, weight, value, c);//不放入背包，就直接判断下一个节点
                    case 1: {
                        //放入背包，判断是否放的进去
                        if (nowSumWeight + weight[node] <= c){
                            //放入背包，加入总价和总重
                            nowSumWeight += weight[node];
                            nowSumValue += value[node];
                            //判断下一个节点
                            backtrack(node + 1, weight, value, c);
                            //重点！！！
                            //执行到这里时证明子节点下的节点已经判断完毕，需要回溯，就需要把这一层节点装入背包的东西拿出来，恢复重量与价格
                            nowSumWeight -= weight[node];
                            nowSumValue -= value[node];
                        }// end if
                    }// end case1
                }// end switch
            }// end for
        }

        return 0;
    }