脉冲压缩的增益问题
目录
一、引言
二、线性调频波的脉冲压缩增益
三、仿真验证及问题分析
3.1 脉压系统对LFM波的增益
3.2 脉压系统对白噪声的增益
3.3 脉压系统对信噪比的增益
参考文献
一、引言
脉冲压缩（Pulse Compression）是雷达在发射机峰值功率受限情况下，为提高目标探测距离，同时保持较高的距离分辨力而采用的一 种有效技术（也即大时宽带宽积）。其原理是将回波信号与原信号做相关运算从而得出相关峰，本质上是将不同频率信号的能量累加起来得到一个较好的信噪比。而这种累加后得到的信噪比增益就是脉冲压缩的增益，本文主要就脉冲压缩仿真中增益的计算和验证出现的问题作以记录和解释。
二、线性调频波的脉冲压缩增益
线性调频波(Linear Frequency Modulation,LFM)解调到基带后可以表示为：
其中
为信号幅度，
表示调频斜率：
其中
表示LFM波的带宽，
表示LFM波的时宽。
表示LFM波的矩形包络，即：
信号的复频谱为：
根据菲涅尔积分的性质，当
时，信号绝大多数能量集中在
的范围内，此时
可近似为：
![X(f)=\left\{\begin{matrix} \frac{A}{\sqrt{\mu}}e^{j[-\pi f^2/\mu + \pi/4]} ,&|f-f_0|\leq B/2 \\ 0& |f-f_0|> B/2 \end{matrix}\right.](http://img.e-com-net.com/image/info8/b4fa5ca6942d40aa80621791f964d7b9.gif)
可将上式写作：
其中
表示相频特性。则匹配滤波器的频率特性为：
其中
为滤波器归一化因子，该因子的意义在于可将滤波器的幅频特性归一化，从而不影响实际的滤波增益，也即脉压增益。另一方面也可以理解为若不设置该因子，则滤波器的幅值会对信号与噪声会有相同的增益效果，徒劳的增加了数值的大小，因此需设置该因子。之后仿真中的脉压增益计算也会考虑这个因子
另外上式中
表示与滤波器物理相关的附加时延。LFM波经脉压匹配滤波后的信号为：
可以看到，当滤波器物理时延为0且完全匹配时(
)，脉压输出得到峰值
，则脉压对信号增益为
。
三、仿真验证及问题分析
3.1 脉压系统对LFM波的增益
本文利用的脉压技术是频域实现方法，流程框图如下：
其中回波基带信号（无噪声）和基带信号的幅度值均为1，匹配滤波器的系统函数
也没有归一化。以下给出基于上图的脉冲压缩仿真代码(MATLAB)：
%% LFM脉冲压缩
%% 波形参数
C = 3e8; % 光速
T = 50e-6; % 脉冲宽度
B = 2e6; % 频带宽度
K = B/T; % 调频斜率
Fs = 40e6; % 采样频率
Ts = 1/Fs; % 采样周期
%% 回波窗参数
Rmin = 10000;Rmax = 150000; % 测距范围
Rwid = Rmax-Rmin; % 最大测距长度
Twid = 2*Rwid/C; % 回波窗的长度
Nwid = ceil(Twid/Ts); % 采样窗内的采样点数
R = [100e3]; % 目标斜距
RCS = [1]; % 雷达截面积
%% 产生回波
t = linspace(2*Rmin/C,2*Rmax/C,Nwid); % 回波窗
M = length(R); % 目标的个数
td = ones(M,1)*t-2*R'/C*ones(1,Nwid); % 减去时延后的时间序列
Srt = RCS*(exp(1j*pi*K*td.^2).*((td0));% 回波信号
% %% 加噪（高斯白噪声）
% Mean = 0 ;% 噪声均值
% Variance = 1;% 噪声功率
% white_noise = randn(1,Nwid)*sqrt(Variance/2) + 1j*randn(1,Nwid)*sqrt(Variance/2)+Mean;% 生成噪声
% Srt = Srt + white_noise;
%% 脉冲压缩
Nchirp = ceil(T/Ts); % 脉冲宽度内的采样点数
Nfft = 2^nextpow2(Nwid+Nchirp-1); % 方便使用FFT算法，满足2的次方形式
Srw = fft(Srt,Nfft); % 回波做FFT
t0 = linspace(0,T,Nchirp); % 脉冲宽度内时间序列
St = exp(1j*pi*K*t0.^2); % 基带信号
Sw = conj(fft(St,Nfft)); % 滤波器系统函数
Sot = ifft(Srw.*Sw); % 滤波
Z = Sot(1:1+Nwid-1); % 截取信号
%% 绘图
figure(1);% 原始回波信号
plot(t*1e6,real(Srt));axis tight;
xlabel('Time/us');ylabel('幅值');
axis([600,1000,-1.5,1.5]);
title('原始回波信号');
figure(2);% 基带信号
plot(t0*1e6,real(St));axis tight;
xlabel('Time/us');ylabel('幅值');
title('基带信号');
figure(3);% 脉压后信号
plot(t*C/2,abs(Z));
axis([10000,150000,0,2500]);
xlabel('距离/m');ylabel('幅值');
title('脉压后信号'); 运行程序后得到回波信号为：
基带信号为：
最终脉压结果为：
可以看到脉压结果精确定位到了目标的距离（100Km）。但是值得注意的是，匹配滤波后信号的峰值为2000，又由于回波信号为单位幅度，这样一来脉压增益为2000，而非
。出现这样的问题一方面是因为仿真中没有对匹配滤波器的系统函数进行归一化，也即没有对滤波器的系统函数乘以前面提到的归一化系数
；另一方面则是前面的增益公式都是基于模拟频域进行推导的，而数字频域，也即对信号做DFT后的幅频特性相比于模拟频域存在Fs(采样频率)倍的增益，而逆变化又会有1/Fs倍的增益。
基于以上解释，对前面脉压流程框图中各步骤的增益系数（幅度）作以标注（红色字体）：
基于上图，最后的脉压系统（注意全文“脉压系统”和“脉压滤波器”的区别）增益（幅度）为：
可以看到最后的脉压增益为LFM脉宽内的采样点数，与实际仿真结果相符。
为进一步验证脉压增益，对基带信号作FFT变换，代码为：
figure(4);% 基带信号频域
f = linspace(0,2,Nfft);
plot(f,abs(Sw));
xlabel('w/π');ylabel('幅值')
title('基带信号频谱');结果为：
可以看到其增益确实为:
3.2 脉压系统对白噪声的增益
在实际的脉压技术应用中，我们更关注的是脉压系统对信噪比的提升，因此除了LFM波外，还需要考虑脉压系统对白噪声的功率增益。
首先理论的看下白噪声的功率增益。在上面的流程图中，可将回波基带信号看为白噪声，则因为其与脉压滤波器无法匹配，因此其经过脉压滤波器的功率增益并非
。如上所述，当 时，基带LFM的幅频特性可近似为如下的矩形(红线标注)：
又由于白噪声功率谱密度在采样频带内均匀分布，且信号经过滤波器后的功率谱密度等于原始功率密度与滤波器幅频特性函数平方的乘积，因此其经过上面的脉压匹配滤波器变为在LFM带宽内功率谱密度均匀分布的有色噪声，若假设脉压匹配滤波器的系统函数经过归一化，则其功率增益为：
因此回波信号为纯白噪声时脉压系统各步骤的（幅度）增益如下：
因此在仿真过程中，LFM经过脉压系统的总功率增益：
将回波信号设置为高斯白噪声代码为：
%% 加噪（高斯白噪声）
Mean = 0 ;% 噪声均值
Variance = 1;% 噪声功率
white_noise = randn(1,Nwid)*sqrt(Variance/2) + 1j*randn(1,Nwid)*sqrt(Variance/2)+Mean;% 生成噪声
Srt = white_noise;运行添加完噪声后的脉压处理程序，利用以下命令可得到白噪声的功率增益：
noise_power_gain = mean(abs(Z).^2)/Variance;多次运行得到白噪声功率增益曲线为：
可以看到白噪声功率增益值接近2000并不断浮动，计算得到其平均功率增益值为1957 ，而不是2000。出现增益浮动在于计算机仿真中的白噪声并非理想的，其功率谱也是杂乱分布的，利用如下代码（自相关函数与功率谱的互傅氏变换关系）可得到该实验中白噪声的功率谱：
% 自相关函数与功率谱的互傅氏变换关系
[r, lags] = xcorr(Srt,'biased');
f = linspace(0,2,length(r));
plot(f,abs(fft(r))/Fs);
xlabel('w/π');ylabel('幅值/(W/Hz)')
title('白噪声功率谱');
得到白噪声功率谱如下：
可见其功率谱也是杂乱分布的，则白噪声经过矩形系统函数的滤波器后的功率增益也是呈现浮动的形式。
而出现最后的功率增益与理论值（2000）接近但不相等是因为真实的LFM基带信号幅频曲线并不为矩形，这样的近似会对功率增益有一定的影响，这也是实验功率增益值与理论值有差异的原因。
3.3 脉压系统对信噪比的增益
基于3.1与3.2小节的阐述，可得到实际仿真应用中脉压系统对信噪比的增益为：
添加噪声功率代码如下：
%% 加噪（高斯白噪声）
Mean = 0 ;% 噪声均值
Variance = 1;% 噪声功率
white_noise = randn(1,Nwid)*sqrt(Variance/2) + 1j*randn(1,Nwid)*sqrt(Variance/2)+Mean;% 生成噪声
Srt = Srt + white_noise;运行程序后得到脉压结果如下：
取前85Km的噪声数据估计噪声功率为2077W，则实验中信噪比增益为：
与实验中Nchirp(2000)接近，这也证实了上面的分析。
参考文献
[1] 邱丽原. 线性调频信号脉冲压缩仿真与分析[J]. 电子科技, 2011, 24(7):117.
[2] 翟庆林,张军,付强. 线性调频脉冲压缩技术及其在雷达系统中的应用[J]. 现代电子技术,2007,30(1):17-19.
[3] 郑力文,孙晓乐. 线性调频信号数字脉冲压缩技术分析[J]. 现代电子技术,2011,34(1):39-42.