阅读翻译VMD---摘要、索引词

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摘要：在20世纪90年代末，黄提出了一种叫做经验模态分解（EMD）的算法，该算法如今被广泛应用于递归地将信号分解为未知但独立的光谱波段的不同模态。EMD以其对噪声和采样的敏感性等局限性而闻名。这些限制只能通过更多的数学尝试来部分解决这个分解问题，如同步压缩、经验小波或递归变分分解。

在此，我们提出了一个完全非递归变分模态分解模型（VMD），其中模态被并行提取。该模型寻找模态及其各自中心频率的集合，使这些模态共同再现输入信号，而在解调到基带后，每个模态都是平滑的。在傅里叶域中，这对应于窄带先验。我们展示了维纳滤波去噪的重要关系。实际上，所提出的方法是将经典的维纳滤波器推广为多个自适应波段。我们的模型为分解问题提供了一个解决方案，在理论上是有根据的，而且仍然容易理解。采用乘子方法的交替方向法对变分模型进行了有效优化。初步结果显示，与现有的模态分解模型相比，具有吸引力的性能。特别地，我们提出的模型对采样和噪声有更强的鲁棒性。最后，我们在一系列的人工和真实数据上展示了有前景的实际分解结果

索引术语：am - fm，增广拉格朗日，傅里叶变换，希尔伯特变换，模态分解，谱分解，变分问题，维纳滤波。

我的理解

EMD：是一种将信号分解成特征模态的方法，根据所分析的信号而自适应生成固有模态函数

原理

1. 对于原始时间序列T来说，将其表示为x(t)，t为时间。找到其中的局部极大值、局部极小值，并通过曲线插值方法对这些极值点进行拟合，得到信号的上包络线u(t)、下包络线l(t)

2. 找到上下包络线的均值：

3. 将均值m(t)从原始时间序列中去除：d(t) = x(t) - m(t)

4. 对于m(t)、d(t)，判断是否达到收敛的条件，如果满足下列条件中的任一条，则第一个模态函数IMF：C1(t) = m(t)，第一个残差分量：r1(t) = d(t)

   1. 迭代停止条件：①均值序列m(t)接近0；②局部极值数量与d(t)过零点的数量最多相差一个；③用户定义的最大迭代次数是否达到

5. 筛选。重复上述1-4步骤，直到满足收敛条件

6. 将残差r1(t) 作为原始序列，然后重复上述1-5步骤，重复I次后可获取第I阶模态函数：CI(t)和最终符合标准的残差量rN。原始序列经EMD分解的表达式为

⚠️IMF的数量是不知道的，需要经过迭代

优点

 自适应强

1. 基函数的自动生成：根据自身信号进行分解，与小波变换的对比（小波变换时需要预先选择小波基）

2. 滤波特性：EMD由不等带宽的IMF分量c1,c2…cn组成。这些分量的频率是从高到底排列的，信号不同频率带宽也不同。与小波变换的对比（小波分解中，获得的时域波形是由小波分解尺度决定的）

3. 多分辨率：IMF所包含的特征时间尺度不同，说明信号可以用不同的分辨率来表达

 完备性

1. 把分解后的各个分量相加能够获得原信号

 缺点

1. 分解高度依赖极值点的查找方法，自由度低
2. 缺乏数学理论的支持
3. 存在模态混叠，一个频带存在于多个IMF中
4. IMF的数量是未知的

VMD：利用迭代搜索变分模型最优解来确定每个分解的分量中心频率及带宽，属于完全非递归模型，该模型寻找模态分量的集合及其各自的中心频率，而每个模态在解调成基带之后是平滑的

1. 每个模态都是具有自己的中心频率的有限带宽（就是在频域中有一定的宽度）

2. 所有模态之和为源信号

3. 对求最优解采用二次惩罚和拉格朗日乘数将上诉约束问题转换为非约束问题，并用交替方向乘子法求解这个非约束问题， 通过迭代更新最终得到信号分解的所有模态。分解的所有模态中有包含主要信号的模态和包含噪声的模态。将包含主要信号的模态进行重构，从而达到去噪的效果

 函数

u, u_hat, omega = VMD(f ,alpha, tau, k, DC, init, tol)

输入参数

1. f：输入的时间序列信号
2. alpha：限制带宽，用于分解成不同的IMF
3. tau、DC：0
4. k：模态数量
5. init：初始中心频率的设定，0表示全为0，1表示均匀分布，2表示随机初始化
6. tol：收敛精度，10^-6

输出参数

1. u：分解后的模态
2. u_hat：模态频谱
3. omega：中心频率

如何判断相关模态

1. 用信号与模态的相似程度来判断信号与噪声

2. 推荐论文：基于VMD的激光雷达回波信号去噪方法研究，对VMD进行了一些优化

3. 例如：在VMD中一般采用局部重构，即将与原信号相似的模态就认为是信号，与原信号相差大的模态认为噪声，然而噪声模态中其实还含有一些信号，用一定方法提取信号，可增加信噪比和可信度。方向：采用定的滤波器处理信号模态来去除其中的噪声会不会提高信噪比

优点

1. 具有可以确定模态分解个数的优点，其自适应性表现在根据实际情况确定所给序列的模态分解个数

2. 具有更坚实的数学理论基础

3. 可以降低复杂度高和非线性强的时间序列非平稳性，分解获得包含多个不同频率尺度且相对平稳的子序列，适用于非平稳性的序列

4. 可以很好抑制EMD方法的模态混叠现象（通过控制带宽来避免混叠现象）

缺点

1. 要求预先定义模态数K。这是我们与许多成功的聚类和分段算法（例如k-means）共享的缺点

2. 对于预定义模态数K的解决方法，可采用反馈模式对K自动识别定义，解除了预定义的先验模式

应用：VMD将信号分解与重构，用的最多就是来去噪。在写论文，通常拿VMD与EMD(经验模态分解)、EWT（经验小波变换）进行性能对比