函数相乘和相除的导数及证明

函数求导简介

函数相乘求导

$[f(x)\cdot g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

证明：
$[f(x)\cdot g(x){]}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)\Delta x\cdot g(x)+g^{\prime }(x)\Delta x\cdot f(x)}{\Delta x}$

$=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

函数相除求导

$[\frac{f(x)}{g(x)}{]}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$

证明：
$[\frac{f(x)}{g(x)}{]}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)g(x)}\cdot \frac{1}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)g(x)}\cdot \frac{1}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)\Delta x\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)\Delta x}{g^2(x)\cdot \Delta x}$

$=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$