《阵列信号处理及MATLAB实现》阵列响应矩阵(均匀线阵、均匀圆阵、L型阵列、平面阵列和任意阵列)

2.7  阵列响应矢量/矩阵

常用的阵列形式包括均匀线阵、均匀圆阵、L型阵列、平面阵列和任意阵列等。

1、均匀线阵

 假设接收信号满足窄带条件，即信号经过阵列长度所需的时间应远远小于信号的相干时间，信号包络在天线阵列传播时间内变化不大。为简化，假定信源和天线阵列是在同一平面内，并且入射到阵列为平面波。

来波方向为

一共有个阵元

则阵元间距为的均匀线阵的阵列响应矢量为：

定义方向矩阵为：

2、均匀圆阵

 均匀圆形的M个相同的全向阵列均匀分布在平面x-y上一个半径为R的圆周上，如图所示。

采用球面坐标系表示入射平面波的波达方向，坐标系的原点O在阵列的中心。信源的仰角是原点到信源的连线与z轴之间的夹角，方位角则是原点到信源的连线在平面x-y的投影与x轴之间的夹角。

方向矢量是DOA为的阵列响应，可表示为：

其中，，为半径

3、L型阵列

 L型阵列由x轴上阵元数为N的均匀线阵和y轴上阵元数为M的均匀线阵组成，一个有M+N-1个阵元。阵元间距为d。

假设空间有K个信源照射到阵列上，其二维波达方向为

其中和分别代表第k个信源的仰角和方位角。

假设入射到此阵列上的信源数为K，则x轴上N个阵元对应的方向矩阵为

y轴上M个阵元对应的方向矩阵为：

其中和均为范德蒙德矩阵。

4、平面阵列

 设平面阵列的阵元数为M*N，信源数为K。

其中和分别代表第k个信源的仰角和方位角。

则空间的第i个阵元与参考阵元之间的波程差为：

式中，为第i个阵元的坐标，面阵一般在x-y面内，所以一般为0

由上面L型阵列的分析可知，x轴上的N个阵元的方向为，y轴上的M个阵元的方向为。所以如上图所示的子阵1的方向矩阵为，而子阵2的方向矩阵就需要考虑沿y轴的偏移，每个阵元相对于参考阵元的波程差就等于子阵1的阵元的波程差加上，所以可得：

子阵1：

子阵2：

......

子阵M：

其中，是由矩阵的m行构造的一个对角矩阵。

5、任意阵列

假设M元阵列位于任意三维空间中，如图所示。定义阵列中第m个传感器为。方向矩阵是：

 其中，是第k个信源的方向矢量，可以表示为：

其中是波长。