matlab dft计算线性卷积,用DFT计算线性卷积.doc

用DFT计算线性卷积

用DFT计算线性卷积

1 基本原理

1.1用 DFT实现线性卷积的原理

线性与圆周卷积分别由下式给出

其中 x[n] : 0≤n ≤P －1 ( 0≤m ≤P －1

y[n]: 0≤n ≤L －1 ( 0≤n － m ≤L －1

w[n]的最大长度为 ：L+P-1，单 wp[n] 的长度为 N。

当N≥L+P －1 , wp[n] = w[n]; 当 N ≤ L+P －1, wp[n] ≠ w[n];

所以要使圆周卷积等于线性卷积而不产生混叠的必要条件为：N ≥ P+L－1

即线性与圆周卷积一致的样本为: P+L － N－1≤ n ≤N －1

1.2 重叠保留法原理

设h(n)的点数为M，信号x(n)为很长的序列。我们将x(n)分解为很多段，每段为L点，L选择成和M的数量级相同，用xi(n)表示x(n)的第i段：

要求x(n)和h(n)的卷积时，若x(n)的点数很多，远大于h(n)的点数M时，通常不允许等x(n)全部采集齐后再进行卷积，否则，使输出相对于输入有较长的延时。因此需要采用分段卷积或称分段过滤的办法，即将x(n)分成点数和h(n)相仿的段，分别求出每段的卷积结果，然后用一定方式把它们合在一起，便得到总的输出，一种分段卷积的方法就是重叠保留法。

设h(n)的点数为M，信号x(n)为很长的序列。我们将x(n)分解为很多段，每段为L点，L选择成和M的数量级相同，取N=L+M-1用xi(n)表示x(n)的第i段。重叠保留法先将x(n)分段，每段L=N-M+1个点，由于xi(n)*h(n)为L+M-1 点，故先对xi(n)及h(n)补零值点，补到N点不同之处是，序列中补零处不补零，而在每一段的前边补上前一段保留下来的(M-1)个输入序列值， 组成L+M-1点序列xi(n)，如图8-27(a)所示。如果L+M-1<2m， 则可在每段序列末端补零值点，补到长度为2m，这时如果用DFT实现h(n)和xi(n)圆周卷积，则其每段圆周卷积结果的前(M-1)个点的值不等于线性卷积值，必须舍去。

为了说明以上说法的正确性，我们来看一看图8-28。任一段xi(n)(为N点)与h(n)(原为M点，补零值后也为N点)的N点圆周卷积

由于h(m)为M点，补零后作N点圆周移位时，在n=0,1,…,M-2的每一种情况下，h((n-m))NRN(m)在0≤m≤N-1范围的末端出现非零值， 而此处xi(m)是有数值存在的，图8-28(c)，(d)为n=0, n=M-2的情况，所以在0≤n≤M-2

这一部分的yi(n)值中将混入xi(m)尾部与h((n-m))N·RN(m)尾部的乘积值，从而使这些点的yi(n)不同于线性卷积结果。但是从n=M-1开始到n=N-1，h((n-m))NRN(m)=h(n-m)(如图8-28(e)，(f)所示)，圆周卷积值完全与线性卷积值一样，yi(n)就是正确的线性卷积值。因而必须把每一段圆周卷积结果的前(M-1)个值去掉， 如图8-28(g)所示。 ?

因此，为了不造成输出信号的遗漏，对输入分段时，就需要使相邻两段有M-1个点重叠(对于第一段，即x0(n)，由于没有前一段保留信号，则需要在序列前填充M-1 个零值点)，这样，若原输入序列为x′(n)(n≥0 时有值)，则应重新定义输入序列

0≤n≤N-1

其他n ( i=0, 1, … )

在这一公式中，已经把每一段的时间原点放在该段的起始点，而不是x(n)的原点。这种分段方法示于图8-27中，每段xi(n)和h(n)的圆周卷积结果以yi(n)表示，如图 8-27(b)所示，图中已标出每一段输出段开始的(M-1)个点，0≤n≤M-2部分舍掉不用。把相邻各输出段留下的序列衔接起来，就构成了最后的正确输出， 即

式中:

M-1≤n≤N-1

其他n

这时，每段输出的时间原点放在yi ′ (n)的起始点，而不是y(n)的原点。

图1-1 用保留信号代替补零后的局部混叠现象

图1-2 重叠保留法示意图

2函数说明

由于是用重叠保留法计算线性卷积，根据重叠保留法的原理，在MATLAB软件的环境下可以创造一个相应的函数求x(n)和h(n)的线性卷积。设h(n)的点数为M，信号x(n)为很长的序列。把x(n)分成长为L 的小段xi(n),每段与前一段重叠M-1 个样本的多段,保留后面的(L-M+1)个输出样本,最后把这些输出连成一个序列，结果即为x(n)和h