AI笔记: 数学基础之随机变量及其分布

随机变量及其分布

1 ) 知识图谱

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2 ) 相关概念

  • 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来标识,那么这样的变量叫做随机变量。随机变量常用字母 X , Y , ξ , η X, Y, \xi, \eta X,Y,ξ,η 等表示
  • 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.
  • 连续型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.
  • 离散型随机变量与连续型随机变量的区别和联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果,但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续型随机变量的结果不可以一一列出
  • 若X是随机变量,Y = aX + b (a,b是常数), 则Y也是随机变量,并且不改变其属性(离散型,连续型)

3 ) 离散型随机变量的分布列

概率分布(分布列)

设离散型随机变量X可能取的不同值为 x 1 , x 2 , . . . , x i , . . . , x n x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n x1,x2,...,xi,...,xn,X的每一个值 x i x_i xi (i = 1,2,…,n)的概率 P ( X = x i ) = p i P(X=x_i) = p_i P(X=xi)=pi, 则称下表为随机变量X的概率分布,简称X的分布列

X x1 x2 ... xi ... xn
P p1 p2 ... pi ... pn

性质

  • p i > = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n ; p_i >= 0, i = 1,2,...,n; pi>=0,i=1,2,...,n;
  • ∑ i = 1 n p i = 1 \sum_{i=1}^n p_i = 1 i=1npi=1

两点分布

如果随机变量X的分布列为下表,则称X服从两点分布,并称p = P(X=1) 为成功概率

X 0 1
P 1 - p p

二项分布

  • 如果一次实验中某时间发生的概率是p, 那么在n次独立重复实验中这个事件恰好发生k次的概率是 P ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} P(X=k)=Cnkpk(1p)nk, 其中k=0,1,2,…,n, q = 1-p
  • 于是得到随机变量X的概率分布如下
    • X: 0, 1, …, k, …, n
    • P: C n 0 p 0 q n , C n 1 p 1 q n − 1 , . . . , C n k p k q n − k , . . . , C n n p n q 0 C_n^0 p^0 q^n, C_n^1 p^1 q^{n-1}, ..., C_n^kp^kq^{n-k}, ..., C_n^n p^n q^0 Cn0p0qn,Cn1p1qn1,...,Cnkpkqnk,...,Cnnpnq0
  • 我们称这样的随机变量X服从二项分布,记为: X   B ( n , p ) X ~ B(n,p) X B(n,p), 并称 p 为成功概率
  • 判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有三点:
    • 对立性: 即一次试验中事件发生与否二者必居其一
    • 重复性: 即试验是独立重复地进行了n次
    • 等概率性: 在每次试验中事件发生的概率相等
  • 注意:二项分布的模型是有放回抽样,二项分布中的参数是p,k,n

4 ) 离散型随机变量的均值与方差

离散型随机变量的均值

  • 一般地,若离散型随机变量X的分布列为
    • X: x 1 , x 2 , . . . , x i , . . . , x n x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n x1,x2,...,xi,...,xn
    • P: p 1 , p 2 , . . . , p i , . . . , p n p_1, p_2, ..., p_i, ..., p_n p1,p2,...,pi,...,pn
  • 则称 E ( X ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + . . . + x i p i + . . . + x n p n E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + ... + x_i p_i + ... + x_n p_n E(X)=x1p1+x2p2+...+xipi+...+xnpn 为离散型随机变量X的均值或者数学期望
  • 它反映了离散型随机变量取值的平均水平

性质:

  • E ( a X + b ) = a E ( x ) + b E(aX + b) = aE(x) + b E(aX+b)=aE(x)+b
  • 若X服从两点分布,则 E ( X ) = p E(X) = p E(X)=p
  • 若X~B(n,p), 则 E ( X ) = n p E(X) = np E(X)=np

离散型随机变量的方差

  • 一般地,若离散型随机变量X的分布列为:
    • X: x 1 , x 2 , . . . , x i , . . . , x n x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n x1,x2,...,xi,...,xn
    • P: p 1 , p 2 , . . . , p i , . . . , p n p_1, p_2, ..., p_i, ..., p_n p1,p2,...,pi,...,pn
  • 则称 D ( x ) = ∑ i = 1 n ( x i − E ( x ) ) 2 p i D(x) = \sum_{i=1}^n (x_i - E(x))^2p_i D(x)=i=1n(xiE(x))2pi 为随机变量X的方差,并称其算术平方根 D ( X ) \sqrt{D(X)} D(X) 为随机变量X的标准差
  • 它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度
    • D(X)越小,X的稳定性越高,波动越小,取值越集中
    • D(X)越大,X的稳定性越差,波动越大,取值越分散

性质

  • D ( a X + b ) = a 2 D ( X ) D(aX+b) = a^2D(X) D(aX+b)=a2D(X)
  • 若X服从两点分布,则 D ( X ) = p ( 1 − P ) D(X)=p(1-P) D(X)=p(1P)
  • 若X~B(n,p), 则 D ( X ) = n p ( 1 − P ) D(X) = np(1-P) D(X)=np(1P)

5 ) 正态分布

  • 正态变量概率密度曲线函数表达式 f ( x ) = 1 2 π ∗ σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , x ∈ R f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} * \sigma} e^{- \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}, x \in R f(x)=2π σ1e2σ2(xμ)2,xR
  • 其中 μ , σ \mu, \sigma μ,σ是参数,且 σ > 0 , − ∞ < μ < + ∞ \sigma > 0, - \infty < \mu < + \infty σ>0,<μ<+. 记为: N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2), 如下图
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  • 若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为 σ 2 σ^2 σ2的正态分布,记为 N ( μ , σ 2 ) N(μ,σ^2) N(μσ2)
  • 其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度
  • 当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布

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