时域上的乘积等于频域上的卷积_自相关、卷积与匹配滤波

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自相关、卷积与匹配滤波

1、引言

最近被相关、卷积和匹配滤波弄得晕头转向，今天总结下这几个概念以及实际工程实践中的应用情况，供大家参考交流。

2、定义

(1)相关

两个变量f1(t)和f2(t)的相关函数为

若两个信号实际上是一个信号，那么我们就得到该信号的自相关函数，一个信号的自相关函数是其时域特性的平均度量。因此，信号f(t)的自相关函数等于f(t)及其经时移后所产生信号的平均乘积，是关于时移t'的函数。

(2)卷积

两个变量f1(t)和f2(t)的卷积函数为

由卷积定理，时域卷积为频域(傅里叶变换)乘积，则

(3)匹配滤波

对于线性时不变系统，时域上，输出为输入与系统函数的卷积g(t)=s(t)*h(t)；频域上，输出为输入与传递函数的乘积G(w)=S(w)×H(w)。如果接收机与接收到的信号匹配，那么接收机的传递函数将是输入端接收信号的复共轭

则

频域中函数的复共轭等于时域中对应信号的时间反转h(t)=s*(-t)。因此有

上式为自相关函数的等价形式，因此，匹配滤波器冲激响应与输入信号的卷积等于输入信号的自相关函数。

3、工程应用

由以上分析可知，信号处理的匹配滤波过程实际是信号关于某一时移的自相关过程。卷积定理将系统的时域处理与频域处理联系起来，FFT作为快速计算的工具，在工程应用中经常使用。下面举两个物理应用例子。

(1)通信系统

伪随机码(Pseudo Noise
Code-PN码)，是一种具有自相关特性的0和1构成的编码序列，一方面其足够的随机性对非目标接收机是不可识别的，另一方面其强相关特性能使目标接收机能识别且很容易实现载波同步过程。为了能在硬件上的快速实现，PN码的相关过程转换到频域乘积的形式实现。

(2)雷达系统脉冲压缩

雷达的信号做脉压调制，一方面增加带宽，提高分辨率；另一方面增加发射功率，提高探测距离。脉压信号的匹配滤波过程通用在频域乘积的形式实现。

参考文献：

[1] 奥本海默, 离散时间信号处理，西安交通大学出版社

[2] Mark,A.Richards，雷达信号处理基础，电子工业出版社

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