MPC学习（2）

 六、关于最优控制的进一步理解

 

1.最优控制问题的基本组成

（1）系统的数学模型

（2）边界条件与目标集

边界条件：即系统状态变量的运动轨迹的两点边界值

目标集：对于末态状态 ，有以下几种情况：

•   自由：扩展到整个r维空间

•  是一个固定量：只有一列元素
• 需要满足某些条件：为n维空间中的r维超曲面

（3）容许控制

对于闭集控制，输入量u(t) 一般有一个范围Ω ，对于属于Ω 且分段连续的u(t) ，我们成为容许控制

（4）性能指标

又称性能泛函，目标函数等

2.最优控制问题的提法

设系统的状态方程和初始条件为：

其中

         ,是x(t),u(t),t的连续向量，对x(t)和t连续可微

u(t)在分段连续，且

目标函数：

达到极值

同时应该满足：

①  控制不等式约束：

② 目标集等式的约束：

其中，对于不同的问题，性能指标L不同

(1) 积分型性能指标

① 最短时间控制

② 最少燃耗控制

 

③ 最少能量控制

(2)末值型性能指标

(3)复合型性能指标

① 有限时间线性状态调节器问题

其中       

② 有限时间线性跟踪系统问题

3.泛函的引入

（1）变分

例：对于

（2）欧拉方程

对于无约束泛函极值问题，

在上连续可微，

求可以满足最小值的极值轨线

设是满足边界条件的极值轨线，是邻域中的一条容许轨线，如图：

 

 轨线满足以下方程：

当有等式约束时：

若系统的微分方程为：

则极值问题转化为：

 引入拉格朗日方程：

其应该满足欧拉方程：

例题：

 

 

 

 

 

当然，满足欧拉方程只是泛函取极值的必要条件，为了确定极值的性质，需要给出泛函取最小值的充分条件。

（3）泛函极小值的充分条件

① 无约束情况

② 若存在约束：

则：

其中：