控制理论重要概念
7.3
1.稳定性的概念：系统的稳定性是指一个系统在遭受扰动下偏离原来的平衡状态，但在扰动消失后，这个系统仍能够恢复到原来平衡状态的一种顽性。
2.系统稳定性的判断方法(可补充)
经典控制理论中，单输入单输出的线性定常系统，应用劳斯判据和胡维兹判据等代数方法可以直接判断系统的稳定性。频域中，常应用奈奎斯特判据(不仅能够指明系统的稳定性，还能给出改善系统稳定性的方法)。
上述方法都是以分析系统特征方程在根平面上根的分布为基础的。但对于非线性系统和时变系统，这些判据就不管用了。
现代中的李雅普诺夫方法。它有李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。前者是通过求解系统微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性的，与经典控制理论类似，不详细介绍。
仅详细说明李雅普诺夫第二法：不去求解系统的方程，而是通过一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来直接判定系统的稳定性。它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。该方法除了进行稳定性分析外，还可对系统瞬态响应的质量进行评估以及求解参数的最优化问题。
3.非线性系统
非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数相关,还与系统的初始条件和外界扰动的大小相关。
稳定性的问题都是相对于某个平衡状态而言的。线性定常系统的平衡点只有一个。而其余系统则由于可能存在多个平衡点，在不同的平衡点可能表现出不同的稳定性，因此需要分开讨论。
4.李雅普诺夫方法详解
学习李雅普诺夫的基础知识 二次型
稳定性的几个定义
什么是李雅普诺夫意义下的稳定？
什么是渐近稳定？
什么是大范围渐近稳定稳定？
7.19
①频率特性的概念
②实验法确定频率特性的方法
③最小相位系统和非最小相位系统
④奈式判据的数学基础——辐角原理的内容
⑤奈式判据阐述
开环零点为闭环极点 辅助函数的引入
经过(-1,0) 临界稳定
⑥稳定裕度和计算公式
相角裕度和幅值裕度
⑦闭环系统的频域性能指标
8.1
※动态性能用阶跃函数进行测定。一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。如果系统在阶跃函数作用下能满足动态性能要求，那么系统在其他形式的函数作用下，也能满足。稳态性能通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。
※在初始条件为零的情况下，一阶系统的闭环传递函数与脉冲响应函数之间，包含着相同的动态过程信息。因此常以单位脉冲输入信号作用于系统，根据被测定系统的单位脉冲响应，可以求得被测系统的闭环传递函数。
※阻尼比与特征根的分布情况以及系统输出响应的形式关系需搞明白。阻尼比的大小决定了系统的阻尼程度。
※改善二阶系统性能的方法中，比例微分控制和测速反馈控制是两种常用的方法。他们的比较
※增加闭环零点会减小系统阻尼：减小峰值时间，使系统响应速度加快，超调量增大。出现超调甚至振荡。
增加闭环极点会增大系统阻尼：增大峰值时间，使系统响应速度变缓，超调量减小。
若闭环零极点彼此接近，则它们对系统的响应速度的影响会相互削弱。
需要折中考虑闭环零极点对系统响应速度和阻尼程度的影响。
开环零点增加阻尼比，简单从相位裕量上去考虑即可。或者从开环根轨迹图中可以看出，增加开环极点，根轨迹图左移。开环极点减小阻尼比，增加开环极点，那么相位裕量减小，减小了阻尼比。
8.2
※对于稳定的线性系统，必然在大范围内和小范围内都能稳定；只有非线性系统才可能有小范围稳定而在大范围不稳定的情况。
※平衡状态稳定性：即李雅普诺夫稳定。假设系统有一个平衡工作状态，如果系统受到有界扰动作用偏离了原来的平衡状态，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够以足够精度恢复到初始平衡状态，这种系统称为大范围稳定的系统。
运动稳定性：即系统方程在不受任何外界输入作用下，系统方程的解在时间t趋向于无穷时的渐近行为。
※赫尔维茨稳定判据，充要条件是系统特征方程各项系数所构成的主行列式及其顺序主子式全部为正。计算量较大。
劳斯稳定判据，稳定充要条件：劳斯表中第一列各值为正。它与赫尔维茨稳定判据实质上是相同的。劳斯表第一列与赫尔维茨各顺序主子式之间有一定的关系存在。如果所有的顺序赫尔维茨行列式为正，，则劳斯表中第一列的所有种是输入端定义误差的方法；另一种是从系统输出端来定义，它定义为系统输出量的期望值与实际值之差。前者定义的误差通常是可以量测的，具有一定的物理意义；而后者定义的误差，在系统性能指标的提法中经常使用，但在实际系统中通常无法量测，一般只具有数学意义。
E 输入端 E’输出端 E’=E/H
※误差有两部分组成：瞬态分量和稳态分量。
※应用终值定理的条件：函数sF(s)除了在原点处有唯一的极点外，在s右半平面及虚轴上解析时，则可应用拉氏变换的终值定理。
※动态误差系数。P107
利用动态误差系数，可以研究输入信号几乎为任意时间函数时的系统稳态误差变化。它又被称为广义误差系数。
8.3
※减小或消除稳态误差的措施
1）增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益
2）在系统前向通道或主反馈通道设置串联积分环节
如果在扰动点之前的前向通道或主反馈通道中设置v个积分环节，则必可消除系统在扰动信号n(t)=
作用下的稳态误差。
※相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件。这就是说，绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨迹上各点的K*值时，才使用幅值条件。
※绘制广义根轨迹时，等效开环传递函数的等效仅在闭环极点相同这一点上成立，而闭环零点一般不相同。由于闭环零点对于系统的动态性能有影响，所以由闭环零极点分布来分析和估算系统性能时，可以采用参数根轨迹上的闭环极点，但必须采用原来闭环系统的闭环零点。
※在s左半平面内的适当位置上附加开环零点，可以显著改善系统的稳定性。但系统的动态性能不一定变好。
8.4
※零度根轨迹的来源：1.非最小相位系统中包含s最高次幂的系数为负的因子，即系统在s右半平面具有开环零极点；2.控制系统中包含有正反馈内回路。
※如果闭环零极点相距很近(距离比他们的模值小一个数量级)，那么这样的零极点常称为偶极子。只要偶极子不十分接近于坐标原点，它们对系统动态性能的影响就微乎甚微，从而可以忽略。但接近于坐标原点的偶极子对系统动态性能的影响必须考虑。
※采用主导极点法时，在全部闭环极点中，选留最靠近虚轴而又不十分靠近闭环零点的一个或几个闭环极点作为主导极点，略去不十分接近原点的偶极子，以及比主导极点距虚轴远六倍以上的零极点。注意点：1.选留的主导极点数应大于主导零点数。2.时间响应曲线的形状误差仅出现在曲线的起始段，而主要决定性能指标的时曲线中后段，其形状基本不变。3.采用主导极点法后，闭环系统的根轨迹增益常会发生改变，必须注意核算，否则将导致性能计算出现错误。
※右图重要。闭环系统零极点位置对时间响应影响的定性分析。
8.5
※频率特性定义
定义谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比A(w)为幅频特性，相位之差fai(w)为相频特性，并称其指数表达形式
为系统的频率特性。该定义既适用于稳定系统，又适用于不稳定系统。对于稳定系统可以使用频率特性实验法，即在输入端加入不同频率的正弦信号，然后测量系统输出的稳态响应，再根据幅值比和相位差作出系统的频率特性曲线。不稳定系统不能用频率特性实验法。
稳定系统的频率特性等于输入输出的傅氏变换之比，此即频率特性的物理意义。、
※ 
相关证明
从p203跳转至校正先去看了
※要实现45°左右的相角裕度要求，开环对数幅频特性在中频区的斜率应为-20dB/dec，同时要求中频区占据一定的频率范围，以保证在参数变化时，相角裕度变化不大。
如果输入信号的带宽为0~wM，噪声信号集中作用于w1~wn，则控制系统的带宽频率通常取为
wb=(5-10)wM
且最好使噪声信号频率在0~wb之外。
※前馈校正有两种形式：
1.装置接在系统给定值之后及主反馈作用点之前的前向通道上，这种校正装置的作用相当于对给定值信号进行整形和滤波后，再送入反馈系统，因此又被称为前置滤波器。
2.装置接在系统可测扰动作用点和误差测量点之间，对扰动信号进行直接或间接测量。类似于过控里的前馈控制。
※串联校正和反馈校正的区别
串联校正一般装设再前向通道综合放大器之前，误差测量点之后的位置。它结构简单，易于实现。但通常需要附加放大器，且对于系统参数变化比较敏感。
反馈校正信号通常从高功率传向低功率，无需外加放大器。它对于系统参数波动及非线性因素对系统性能的影响有一定的抑制作用，但它的结构较为复杂，实现困难。
※PID 规律
①采用I控制器可以提高系统的型别，有利于系统稳态性能的提高，但积分控制使系统增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生了90°的相角滞后，于系统的稳定性不利。
②采用PID控制器进行串联校正时，除可使系统的型别提高一级外，还将提供两个负实零点。它比PI控制多提供了一个负实零点，从而在提高系统动态性能方面，具有更大的优越性。
※无源超前网络和无源滞后网络的电路图，特点，波特图
※有源校正网络
无源校正网络常由于负载效应问题，有时难以实现希望的控制规律。
8.6
※伯德图虽然不能严格定量地给出系统的动态性能，但却能方便地根据频域指标确定校正装置的参数。频域设计之所以具有简便性，是因为系统的开环频率特性与闭环系统的时间响应有一定的对应关系。一般来说，开环频率特性的低频段表征了闭环系统的稳态性能；开环频率特性的中频段表征了闭环系统的动态性能；高频段表征了闭环系统的复杂性和噪声抑制性能。
★ 因此用频域法设计系统的实质，就是为了在系统中加入频率特性形状合适的校正装置，使得开环系统频率特性形状变成所期望的形状：低频段增益充分大，以满足系统的稳态误差要求；中频段的对数幅频特性斜率一般为-20db/dec，并占据充分的频带，以保证具备适当的相角裕量；高频带的增益应尽快减小，以削弱噪声的影响。
※超前校正装置
超前校正装置的必要性：当开环增益增大到满足系统的稳态性能时(即原系统的稳态精度已经满足要求)，系统有可能不稳定或稳态裕量达不到要求，动态性能也无法达到要求。
超前校正装置的设计 PD
加入放大器后 
超前校正装置的设计过程就是正确选择校正装置参数α和T的过程。设计的原则就是使校正装置的1/aT和1/T落在原系统截止频率wc两旁，并使校正后的系统的截止频率wc'=wm(校正装置的相角最大点)，以尽可能的发挥超前校正的作用，改善原系统的中频段特性，从而达到改善系统动态性能的作用。
※串联滞后校正
适用条件：系统的动态性能已经满足要求，但稳态精度不太满意时，就要求所加的校正装置既要使系统的开环增益有较大的增加，以满足稳态性能的要求；但系统的动态性能又不能有明显的变化，此时滞后校正装置的引入可以满足要求。
滞后校正实质上由两步，视具体原系统情况而定。倘若原系统需要增加系统相位裕量和降低高频幅值的话，引入单独的串联滞后校正即可。串联滞后校正是利用滞后装置的高频幅值衰减特性，使系统中的中高频幅值衰减，降低了开环截止频率，从而增加了系统的相位裕量，并且提高了抗高频噪声的能力。但由于截止频率降低，系统快速性也降低。
由于引入滞后校正，系统的相位裕量增加。此时提供了多余的相位裕量，供我们增加系统的增益，从而提高稳态精度，但对系统的动态性能影响较小。
此外，由于滞后网络的引入，会带来系统相位裕量的降低，为了避免这一缺陷，我们将滞后网络设置在低频段，远离截止频率，从而减小了它对系统相对稳定性的影响。与超前网络不同，滞后网络相位的变化不是由校正装置叠加引入，而是由于截止频率的变化。
超前和滞后的不同之处
滞后校正的缺陷在于，1.会降低系统的快速性 2.滞后装置常常需要比较大的时间常数，往往难以实现。该种现象的产生，是因为滞后装置的转折频率安装在低频段，且其值往往较小的原因。
※滞后超前校正装置(可解决滞后校正的缺陷2)
如果一个系统的固有特性与所要求的特性差别较大，仅仅采用超前或滞后校正无法满足要求时，可以采用滞后超前校正装置。
校正装置的低频段具有滞后特性(改善稳态性能)，高频段具有超前特性(改善动态性能)。安装在系统的低中频段。
PID就是滞后超前校正装置，它兼顾了系统稳态性能和动态性能的改善。低频段，PID的积分部分起滞后校正的作用，使系统的误差度提高，从而大大改善了系统的稳态性能；中频段，PID中的微分部分起超前校正的作用，使系统的相位裕量和截止频率增加。
※常用的校正装置包括分析法(试探法，超前滞后校正等)和综合法(期望特性法)。
8.9
※引入前馈补偿装置(以输入信号的一阶二阶导叠加组成)，可以提高系统开环函数的型别，对一些输入信号的误差均为0，极大的提高了系统复现输入信号的能力和精度。
从控制系统稳定性角度来考察，没有前馈反馈的系统和有前馈反馈的系统的特征方程完全一致，因此引入前馈补偿，不会影响系统的稳定性，很好地解决了一般反馈系统在提高系统精度和确保系统稳定性之间的矛盾。
※反馈校正分为硬反馈校正和软反馈校正。硬反馈校正装置的主体是比例环节(也可能含有小惯性环节)，他在系统的动态和稳态均起作用，可提高系统快速性(从传递函数去分析，时间常数减小)；软反馈校正装置的主体是微分反馈(也可能含有小惯性环节)，他只在系统的动态反馈中起作用，当系统达到稳态时，形同开路，不起作用，还可提高系统的相对稳定性(阻尼比增大)。
※按扰动补偿不易实现全反馈，原因：1.有些扰动信号无法测量 2.按全补偿条件设计的补偿装置的补偿装置不容易获得。可能出现分子阶数高于分母阶数，这在实际中很难通过物理器件实现。
近似全补偿：增加时间常数很小的惯性环节，使Gd的分子分母阶数相同，在物理上能够实现，可以在扰动信号的主要频段内实现全补偿。
稳态全补偿：令s趋近于0。
※利用z变换，可将连续系统的理论推广到离散系统。z变换可以把线性离散系统的s超越方程，变换为变量z的代数方程。
误差采样的离散控制系统使用最多。当采样开关与系统其余部分的传递函数具有线性关系时，这样的系统称为线性采样控制系统。
系统的采样与保持
采用保持器的原因有介绍 1.信号转换 2.作为信号复现滤波器，防止引入高频噪音。
※控制器要完成对于连续信号的采样编码(A/D)和按控制律进行的数码运算，然后将计算结果由输出寄存器经解码网络将数码转换成连续信号(D/A)。
A/D转换器包括两个过程：采样(连续模拟->离散模拟)和量化过程(离散模拟->离散数字)。D/A转换器包括两个过程：解码(离散数字->离散模拟)和复现(离散模拟->连续模拟)。离散、连续、模拟、数字。如果需要数字是二进制，还需编码的步骤。
若认为采样编码过程瞬时完成，并用理想的脉冲信号来代替数字信号，则数字信号可以视为脉冲信号。脉冲信号：矩形波等，理想脉冲信号，t趋向于0.
8.10
※零阶保持器
①为何使用零阶保持器,而不使用一阶,高阶保持器的原因,上图倒数第二段
②零阶保持器的传递函数形式,及其特性分析
8.11
※z变换仅是一种在采样拉氏变换中,取z=esT的变量置换.通过这种置换,可将s的超越函数转换为z的幂级数或z的有理分式.
※卷积定理指出,两个采样函数卷积的z变换,就是两个函数相应z变换的乘积.卷积定理是沟通z域和时域的桥梁.
※z反变换方法之一的反演积分法(留数法)推导
当z变换函数是超越函数时，只能用该种方法，部分分式法和幂级数法都失效。
※z变换收敛区间 目的:令无穷级数收敛.
※线性离散方程的三种数学模型:差分方程,脉冲传递函数,离散状态空间方程
※采样拉式变换有两个性质：
1.采样函数的拉氏变换有周期性
2.若采样函数的拉氏变换E*(s)与连续函数的拉氏变换G(s)相乘后再离散化，则E*(s)可以从离散符号中提取出来
![[G(s)E^{*}(s)]^{*}=G^{*}(s)E^{*}(s)](http://img.e-com-net.com/image/info8/aa8631e7f56e4ac0bb24bf796879d5d4.gif){kind=small}
※串联环节的开环系统传递函数注意点
1.两个串联环节间有开关
2.两个串联环节之间无开关
得出结论就是
※零阶保持器不影响系统的极点，但会改变系统的零点。
※闭环离散系统脉冲传递函数不能从闭环传函(s)和闭环误差传函(s)z变换而来，由于采样器在闭环系统中有多种配置形式，有时甚至无法写出离散系统的闭环传函。
※在线性连续系统中，把初始值为零时，系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比，定义为传递函数。在线性离散系统中，把初始值为零时，系统离散输出信号的z变换与离散输入信号的z变换之比，定义为脉冲传递函数。
三种情况下的脉冲传递函数求法
①基本采样系统。基本采样系统由采样开关与连续系统串接组成。采样开关把输入信号r(t)变换为周期脉冲序列r(kT)(k=0，1，2，…)，连续系统的特性用传递函数G(s)表示。对于基本采样系统，确定脉冲传递函数G(z)的步骤是：①定出G(s)。②计算G(s)的拉普拉斯反变换g(t)③导出 g(t)的函数序列 g(kT)。 ④确定g(kT)的Z变换G(z)。
此处可将脉冲传递函数视为加权序列的z变换，g(kT)即为加权序列
②串联环节
③闭环系统依采样开关所接位置不同，闭环采样系统具有不同的脉冲传递函数。对于有些结构形式(e(t)处无采样开关)的闭环采样系统，不可能写出脉冲传递函数的显表达式。只能写出C(z)
※z变换的局限性
8.12
※离散系统稳定的充分必要条件
若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该离散系统是稳定的。
连续系统稳定的三种表达：系统齐次微分方程的解是收敛的，或者系统的特征方程式的根均具有复实部，传递函数的极点均位于左半s平面。
※引入采样器可能使系统不稳定，此时需减小系统增益或者增大采样频率。
※对于高阶系统，去求特征根往往不方便，在连续系统中应用了劳斯判据解决了这一问题。因此在离散系统中也来探索能否应用劳斯判据解决高阶系统求根困难的问题。但有一个很现实的问题摆在我们面前，那就是连续系统和离散系统的稳定根位置是不一致的，连续系统的稳定根位于s左半平面，离散系统稳定根位于z平面的单位圆内。那么我们是否可以采用一种变换将z平面的单位圆等效为一个平面的左半平面呢？
答案是肯定的，此处引入一种双线性变换，就可将z域的单位圆变换到w域的左半平面。
具体的推导过程，就是令z=x+jy，w=u+jv 然后去比较 u，v，x，j之间的关系即可。
经过双线性变换，即可对w表示的式子，应用劳斯判据了。
※了解了一下朱利判据，直接应用离散闭环特征方程的系数，判断其根是否位于z的单位圆内，需要判断D(1),D(-1)和朱莉矩阵中各个系数之间的约束大小关系。
※连续系统中稳态误差计算的两种方法：
①一种是建立在拉氏变换终值定理(极点在s虚轴和右半平面解析)基础上的计算方法，可以求出系统的稳态误差。
②另一种是从系统误差传递函数出发的动态误差系数法，可以求出系统动态误差的稳态分量。
z变换的终值定理
离散系统的稳态误差不仅跟系统的结构和参数有关，还跟输入序列的形式和幅值有关，除此之位还和采样周期有关。
8.14
※解决大纯滞后系统的控制方法
smith:Smith控制的基本思路是预先估计出过程在基本扰动下的动态特性，然后由预估器进行补偿控制，力图使被延迟了的被控量提前反映到控制器中，并使之动作，以此来减小超调量和加快调节过程。
内模控制:
实现内模控制的首要条件是知道你控制对象的传递函数G(s)，这个传递函数跟实际系统的特性有一些偏差（实际系统的真实特性为传递函数G0(s)，这个我们求不出来），这个时候我就可以利用这个传递函数设计一个内模控制器（IMC）来完成系统的控制，然后如果我们使用的传递函数与实际系统真实特性很接近，即G(s)=G0(s)，那这个控制器就可以抑制各种干扰对系统的影响，实现控制系统的无差跟踪。
达林算法:该算法的最大特点是将期望的闭环响应设计成一阶惯性加纯延迟，然后反过来得到满足这种闭环响应的控制器。
预测控制,自适应控制
※频域系统的优越性
1.控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法和实验法获得,并可用多种形式的曲线表示,因而系统分析和控制器设计可以应用图解法进行.
2.频率特性的物理意义明确,且对于一阶二阶系统的频域性能指标和时域性能指标有确定的对应关系,对于高阶系统,可建立近似的对应关系.
3.频域设计方法众多,可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求.
4.频域分析法不仅适用于线性定常系统还可以推广到某些非线性控制系统.
※经典线性系统理论对于单输入-单输出线性定常系统的分析和综合是比较有效的，但其显著的缺点是只能揭示输入输出之间的外部特性，难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处理多输入多输出系统.现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输入-状态-输出变量间的因果关系，不但可以输入输出之间的外部特性，还可以揭示系统内部的结构特性，即适用于单输入-单输出系统，又适用于多输入-多输出系统，所以现代控制理论频域分析法又不作主流分析方法。