一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析

参考:DR_CAN

1.介绍

解决一个控制系统的问题:

  • 对研究对象进行分析
  • 控制器设计
  • 测试

分析被控对象的物理特性及动态表现,在这个基础上建立数学模型,数学模型可以是动力学模型、热力学模型、流体力学模型和经济学模型等,然后在数学模型的基础上进行控制器的设计,为满足不同的要求就要应用不同的控制方法(传统控制控制、PID控制、非线性控制、自适应控制和优化控制等),紧接着选择测试平台,可以是仿真平台、实验室模型样机和真实设备等。最后不断将实验结果与模型比较,对数学模型不断的验证和更新。

涉及的内容: 动态系统建模:

  • 电力,KCL,KVL
  • 流体
  • 热力学
  • 机械系统

拉普拉斯+微分方程 时域分析 频域分析

2.电路系统建模

基础元件:

流速:

电阻电压:

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第1张图片

电量:

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第2张图片

电感:

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第3张图片

基尔霍夫定律 KCL:所有进入某节点的电流的总和等于所有离开这个节点的电流的总和

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第4张图片

KVL:沿着闭合回路所有元件两端的电压的代数和为零

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第5张图片

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第6张图片

KVL

两边求导


一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第7张图片

loop 1:

loop 2:

合并:

这是一个大圈,因此在用KVL时,不一定都用小圈,也可用大圈。

loop 1:

loop 2:

由(1)(2)式得

由(2)得

由(3)(4)式得

的关系

由(5)(6)式得

小结: KVL列方程,然后消掉自己定义的电流


一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第8张图片

loop 1:

loop 2:

loop 3:

我们的目的是找到

的关系,而
,因此想先消去
,再消去

由(1)(2)式得

由(3)(4)式得

(5)式还有

没消去,为了不引入新的变量,对(4)式求导

由(5)(6)式得

只有电流

,这样就可以引入

3.流体系统建模

流体系统的几个基本元素: 此处默认为不可压缩的均质流体

压强有三个概念,比如说对于容器的液体来说,它的高度是

,横截面积是
,由流体重力产生的压强称之为静压(Hydrostatic Pressure)

除了液体的压强以外还有大气压强,绝对压强(Absolute Pressure)

测量出来的压力称为表压(Gauge Pressure)

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第9张图片

流阻Fluid Resistance 产生流阻的原因是流体在流动的过程中,通过一些管道连接等,这些都会阻碍流体的流动,因此会产生压差,压差和流量相关

:每秒钟通过横截面的流体的质量,两边的压力差越大,每秒钟流过的流体的越多。

流阻和电阻的概念非常相似

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第10张图片

理想压源

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第11张图片

基本法则-质量守恒定律Conseration of Mass 有了基本元素,还需要基本法则把它们联系在一起,就像电路当中有基尔霍夫定律,在力学当中有牛顿定律一样,这里面我们用到的是质量守恒定律,容器内流体质量的变化

式子两边除以

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第12张图片

容器底部受到的压力

其动态方程为


一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第13张图片

进口处为

,出口处
,容器得横截面积为
,出口流阻为u
,求液面高度的动态方程
.

由质量守恒定律

流阻压差

4.拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是控制理论的基础,它广泛的应用于工程分析当中,它可以把时域(

)上的函数变换到复数域(
)上,从而大大简化系统分析的难度和复杂程度。

先从一个简单的电路系统开始,它的动态方程

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第14张图片

定义系统的输入为

,输出为
,分析电流的变化。本质上就是求解微分方程的过程,假设
就是变化过程,
隐含了系统的特征,就是微分方程表现出来的内容,三者的关系其实是一个卷积的过程。因此分析这样一个系统,它涉及到了卷积和微分方程,分析和计算起来都非常麻烦,而且不是很直观。拉普拉斯变换可以帮助我们解决这些问题,通过拉普拉斯变换,微分方程变成了代数方程,卷积运算变成了乘法运算。

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第15张图片

对时域函数

作拉普拉斯变换:

是一个平面图形,经过拉普拉斯变换后三维的复数域。当
时,从箭头的方向看过去,就是傅里叶变换,可以看到拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系。

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第16张图片

从上向下看就是复平面,做工程的往往会关注系统的极点和零点在复平面上的位置.


指数函数

的拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的重要性质:符合线性变换,线性变换符合叠加原理


正弦

的拉普拉斯变换:根据欧拉公式转化为复指数

两式相减:

因为拉普拉斯变换是一个线性变换:


导数的拉普拉斯变换:

复合函数求积分,用到分部积分:

为拉普拉斯变换,很多时候都把初始条件设置为

同理可得


卷积的拉普拉斯变换 能够将卷积运算变成乘积运算,大大简化运算和分析的复杂程度。


回到最初的电路的动态方程:

两端作拉普拉斯变换:

可以看到,经过拉普拉斯变换把微分方程变换为代数方程,它只有加减乘除,非常的简单。下图方框称之为传递函数。

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第17张图片

5.拉普拉斯变换的收敛域(ROC)与逆变换(ILT)

指数函数的拉普拉斯变换

如果

是发散的

加上限制条件,收敛域ROC(Region of lonvergence),把

根据欧拉公式:

这一项仅仅带来的是振动,并不会对系统的收敛产生影响。因此收敛域为


前面我们已经知道,拉普拉斯能简化运算和分析,为什么还需要微分方程?因为微分方程能够描述动态世界的数学手段。

在经典控制理论和现代控制理论当中,研究对象一般是常系数微分方程,对应的系统就是线性时不变系统,如果是非线性系统的话,一般会在平衡点附近作线性化处理,或者直接采用非线性分析手段。

用拉普拉斯变换求解微分方程的三个步骤:

  • 时域转化到复频域
    ,这里用到拉普拉斯变换
  • 求解代数方程
  • 把结果从复频域转回时域,用到拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换

例子

两端拉普拉斯逆变换:

称为极点Pole

其中,根据欧拉公式有

(2)-(1)

6.拉&传&微的关系

重点讲解传递函数

这部分内容非常重要,对经典控制理论、根轨迹、伯德图、信号处理等学习都有很大的帮助,因为都是从这里伸展出去的。

流体系统

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第18张图片

令A=1

输出

输入

两端作拉普拉斯变换:

称为传递函数

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第19张图片

假设系统的输入为常数,对常数作拉普拉斯变换

当时间

,系统收敛到
。系统的关键点在指数部分,
不变,
随着时间不断的衰减,所以系统是稳定的。

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第20张图片

7.一阶系统的单位阶跃响应

流体系统

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第21张图片

动态方程:

输出是一阶,输入是单位阶跃,称为一阶系统的单位阶跃响应 Unit Step Response.

一般形式:

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第22张图片

B=-1

A=1

两边作拉普拉斯逆变换:

a越大收敛越快。

时间常数 time constant

的时候达到最终状态的63%。

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第23张图片

有时候还会引入另一个概念-稳定时间(Steady State)(整定时间)Setting time

对于一阶线性系统来说,时间常数是特有的,因此可以用时间常数作系统识别。

根据上一节有:

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第24张图片

4秒钟达到稳定时间:

系统的传递函数:


一阶系统与信号处理

一阶系统是一个低通滤波器,低通滤波器只反映了低频变化,高频变化则被过滤了。对于流体系统来说,容器内的液体就起到了抵抗高速变化的作用,是因为它有积累,所以说有积累的都是低通滤波器,它对高速变化不敏感。最典型的积累就是积分,如:

高频变化被缩放100倍,相当于被过滤掉了。所以说大家平时多做积累,有了容量以后面对高速变化的世界才可以做到处乱不惊。

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第25张图片

另一个角度

一阶线性时不变系统1st order LTI:

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第26张图片

单调增,
逐渐减小,
增加速度减缓,最后为零,可以得到一样的图。

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第27张图片

其他情况,

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第28张图片

Phase-Portrait

8.频率响应与滤波器

信号通过线性时不变系统后频率不变

振幅响应 Magnitude Response:

辐角响应 Phase Response:

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第29张图片

一般形式:

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第30张图片

两边作拉普拉斯变换:

其中,

:极点Poles

拉普拉斯逆变换:

对于稳定系统,

的实部小于0,有

ss:Steady State 稳态,由上式可以看出频率响应就是稳态响应。求

:

复数表达:

欧拉公式:

非常非常的重要:


积分

越大,频率越高,频率响应越小,因此频率响应是一个低通滤波器

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第31张图片

例子

9.一阶系统的频率响应

一阶系统:

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第32张图片

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第33张图片

所以一阶系统的频率响应是一个低通滤波

总结: 无论是室内空调系统、流体系统还是含电容器的电路系统,容器就是一个缓冲器,其本质是抑制高速变化。缓冲也会带来延迟。

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第34张图片

Matlab 仿真

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第35张图片

积分前后的对比

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第36张图片

滤波信号后与原函数的对比 滤波信号延迟45°,振幅变为0.707左右

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第37张图片

互换,就是高通滤波器:

把纵轴改为

,就得到伯德图了。

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第38张图片

10.二阶系统对初始条件的动态响应

二阶系统无处不在,运动现象普遍是二阶系统,如牛顿第二定律

质量弹簧阻尼系统

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第39张图片

阻尼和速度成正比,牛顿第二定律:

:固有频率Natural Frequency

:阻尼比Damping Ratio

研究零初始条件,无外力的情况下:

将条件代入:

simulink

位置为5,速度为0

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第40张图片

特征方程 Characteristic Equation:


  • 过阻尼Over damped

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第41张图片

  • 临界阻尼Critial damped

比过阻尼收敛速度快一些

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第42张图片

  • 欠阻尼Under damped

其中

为阻尼固有频率,

的表达式可以看出是震荡衰减的

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第43张图片

这是正弦函数,没有衰减

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第44张图片


11.二阶系统的单位阶跃响应

弹簧质量阻尼系统

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第45张图片

输入:

为单位化 输出:

上一节用的是微分方程的通解和特解,这小节用拉普拉斯变换:

传递函数:

88b402917f5978934d37649d4f5757d1.png
  • 单位阶跃

极点

欠阻尼


时:


时:


:


因此是震荡衰减的。


Matlab 仿真

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第46张图片

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第47张图片

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第48张图片

12.二阶系统的性能分析与比较

如何衡量系统的性能?

欠阻尼动态响应:

延迟时间Delay time:系统达到稳态50%所需的时间

上升时间Rise time:100%

最大超调量 Max Overshoot

稳态时间或调节时间Setting time

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第49张图片

:

:

: 2%

5%


分析手段和方法

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第50张图片
  • 计分规则:1分,2分,3分

越小越好

越小越好

越小越好

雷达图

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第51张图片

13.二阶系统频率响应分析

不同阻尼比的频率响应

振幅响应:

辐角响应:

用这个结论分析二阶系统

传递函数:

:固有频率

:阻尼比

其中

,输入频率比上固有频率

振幅响应:

分析



  • ,输入频率等于固有频率

因此在

一定存在极值 求极值,令

时存在极值

这个频率称为系统的谐振振频率,

,谐振频率和固有频率非常接近

当输入频率等于谐振频率时:


  • 时:

  • 时:

  • 时:

对于阻尼比比较小的系统来说,如果外力的频率在谐振频率(极值)附近,那么系统就会表现出强烈的振幅响应,不同的系统有不同的谐振频率,对外界刺激响应也就不同。

不同阻尼比的频率响应

14.伯德图

伯德图是表示频率响应的图示方法,频率响纵坐标改为

,和辐角响应合称伯德图。

对于传递函数:

直接在命令窗口输入:

([

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第52张图片

dB decibel 分贝 dec 指十分之一,bel人名,分贝表示的是电话、电报的信号损失

: 测量功率

: 参考功率

加对数是为了把较大的数值降低,便于记录,如

振幅和功率为平方关系


积分

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第53张图片

低频

截至频率

高频

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第54张图片

例:

拆分

叠加
([

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第55张图片
([1/4 1

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第56张图片
([

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第57张图片
([

一阶电路暂态响应的结果分析。_动态系统的建模与分析_第58张图片

你可能感兴趣的:(一阶电路暂态响应的结果分析。,一阶电路误差分析,一阶系统开环传递函数表达式,简单典型二阶系统)