[管理运筹学]线性规划&单纯形法的各种姿势（题目：[NOI2008]志愿者招募）
Csdn公式有点怪,转身CmdMarkdown(现在好了)
题目描述
申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要 N N N天才能完成，其中第 i i i天至少需要 A i A_i Ai个人。 布布通过了解得知，一共有 M M M类志愿者可以招募。其中第 i i i类可以从第 S i S_i Si 天工作到第 T i T_i Ti天，招募费用是每人 C i C_i Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这并不是他的特长。于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。
输入格式：
第一行包含两个整数 N N N, M M M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。 接下来的一行中包含N 个非负整数，表示每天至少需要的志愿者人数。 接下来的 M M M 行中每行包含三个整数 S i S_i Si, T i T_i Ti, C i C_i Ci，含义如上文所述。为了方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。
输出格式：
仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。
输入样例#1：
3 3
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2
输出样例#1：
14
说明
1 ≤ N ≤ 1000 1 ≤ N ≤ 1000 1≤N≤1000， 1 ≤ M ≤ 10000 1 ≤ M ≤ 10000 1≤M≤10000，题目中其他所涉及的数据均不超过 2 31 − 1 2^{31}-1 231−1。
分析与建模
设第 i i i 天需要 x i x_i xi 个志愿者，记 a i j a_{ij} aij 为第 i i i 天第 j j j 个志愿者是否能工作。
题目要求总费用最低，即求： M i n z = ∑ i = 1 n C i ∗ x i Min \, z = \sum_{i=1}^{n}{C_i * x_i} Minz=∑i=1nCi∗xi。
它们需要满足要求：
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 . . . + a 1 m x m ≥ A 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 . . . + a 2 m x m ≥ A 2 . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 . . . + a n m x m ≥ A n x 1 , x 2 , x 3 . . . x m ≥ 0 \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3...+a_{1m}x_m \geq A_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3...+a_{2m}x_m \geq A_2 \\ ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3...+a_{nm}x_m \geq A_n \\ x_1,x_2,x_3 ... x_m \geq 0\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+a13x3...+a1mxm≥A1a21x1+a22x2+a23x3...+a2mxm≥A2...an1x1+an2x2+an3x3...+anmxm≥Anx1,x2,x3...xm≥0
这明显是一个的线性规划问题,但它不是标准形式,需要一些改造。
方法一 转化为对偶问题
观察它的对偶问题： M a x w = ∑ i = 1 m A i ∗ y i Max \, w = \sum_{i=1}^{m}A_i*y_i Maxw=∑i=1mAi∗yi。
设 b i j = a j i b_{ij} = a_{ji} bij=aji, 为第 i i i 个志愿者第 j j j 天是否能工作,新的约束条件为：
{ b 11 y 1 + b 12 y 2 + b 13 y 3 . . . + b 1 n y n ≤ C 1 b 21 y 1 + b 22 y 2 + b 23 y 3 . . . + b 2 n y n ≤ C 2 . . . b m 1 y 1 + b m 2 y 2 + b m 3 y 3 . . . + b m n y n ≤ C n y 1 , y 2 , y 3 . . . y n ≥ 0 \begin{cases} b_{11}y_1+b_{12}y_2+b_{13}y_3...+b_{1n}y_n \leq C_1 \\ b_{21}y_1+b_{22}y_2+b_{23}y_3...+b_{2n}y_n \leq C_2 \\ ...\\ b_{m1}y_1+b_{m2}y_2+b_{m3}y_3...+b_{mn}y_n \leq C_n \\ y_1,y_2,y_3 ... y_n \geq 0\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧b11y1+b12y2+b13y3...+b1nyn≤C1b21y1+b22y2+b23y3...+b2nyn≤C2...bm1y1+bm2y2+bm3y3...+bmnyn≤Cny1,y2,y3...yn≥0
添加松弛变量后为：
{ b 11 y 1 + b 12 y 2 + b 13 y 3 . . . + b 1 n y n + y n + 1 = C 1 b 21 y 1 + b 22 y 2 + b 23 y 3 . . . + b 2 n y n + y n + 2 = C 2 . . . b m 1 y 1 + b m 2 y 2 + b m 3 y 3 . . . + b m n y n + y n + m = C n y 1 , y 2 , y 3 . . . y n + m ≥ 0 \begin{cases} b_{11}y_1+b_{12}y_2+b_{13}y_3...+b_{1n}y_n+y_{n+1} = C_1 \\ b_{21}y_1+b_{22}y_2+b_{23}y_3...+b_{2n}y_n+y_{n+2} = C_2 \\ ...\\ b_{m1}y_1+b_{m2}y_2+b_{m3}y_3...+b_{mn}y_n+y_{n+m} = C_n \\ y_1,y_2,y_3 ... y_{n+m} \geq 0\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧b11y1+b12y2+b13y3...+b1nyn+yn+1=C1b21y1+b22y2+b23y3...+b2nyn+yn+2=C2...bm1y1+bm2y2+bm3y3...+bmnyn+yn+m=Cny1,y2,y3...yn+m≥0
这是线性规划的标准形式，对偶问题可以使用原始单纯型法求解。
根据对偶定理，若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且目标函数值相等。题目要的只有目标函数值，所以可以直接求解对偶问题，但这种方法得到的解不是原问题的解，所以这种方法实际上不太合适，不过它只要最基本的单纯形法，故放第一位。
代码如下：
#include 方法二 人工变量法
在加入剩余变量后，分别给每个约束方程加入人工变量 x m + n + 1 , . . . , x m + n + n x_{m+n+1},...,x_{m+n+n} xm+n+1,...,xm+n+n,得到初始基可行解。
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 . . . + a 1 m x m − x m + 1 + x m + n + 1 = A 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 . . . + a 2 m x m − x m + 2 + x m + n + 2 = A 2 . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 . . . + a n m x m − x m + n + x m + n + n = A n x 1 , x 2 , x 3 . . . x m + n + n ≥ 0 \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3...+a_{1m}x_m - x_{m+1} + x_{m+n+1} = A_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3...+a_{2m}x_m - x_{m+2} + x_{m+n+2} = A_2 \\ ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3...+a_{nm}x_m - x_{m+n} + x_{m+n+n} = A_n \\ x_1,x_2,x_3 ... x_m+n+n \geq 0\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+a13x3...+a1mxm−xm+1+xm+n+1=A1a21x1+a22x2+a23x3...+a2mxm−xm+2+xm+n+2=A2...an1x1+an2x2+an3x3...+anmxm−xm+n+xm+n+n=Anx1,x2,x3...xm+n+n≥0
1. 大M法
人工变量不能影响目标函数取值，必须从基变量中换出来。为此，可以在目标函数中把人工变量的系数设成M(一个充分大的数/惩罚系数)，使得在求Min的过程中，人工变量变为非基变量可以大大减小目标函数值
M i n z = ∑ i = 1 n C i ∗ x i + ∑ j = m + n + 1 m + n + n M ∗ x j Min \, z = \sum_{i=1}^{n}{C_i * x_i}+\sum_{j=m+n+1}^{m+n+n}M*x_j Minz=∑i=1nCi∗xi+∑j=m+n+1m+n+nM∗xj
#include 2. 两阶段法
两阶段法则更为直接，第一步，目标函数为 M i n w = ∑ i = m + 1 m + n x i Min \, w = \sum_{i=m+1}^{m+n}{x_i} Minw=∑i=m+1m+nxi，即尽量使人工变量取值为0，如果 w > 0 w>0 w>0，说明人工变量换不出去，即无解。若 w = 0 w = 0 w=0，说明有可行解，进行第二阶段，把矩阵中人工变量部分删掉，目标函数换回原问题的，即 M i n z = ∑ i = 1 n C i ∗ x i Min \, z = \sum_{i=1}^{n}{C_i * x_i} Minz=∑i=1nCi∗xi
#include ###方法三 对偶单纯形法
将所有式子同乘 − 1 -1 −1后得到类似标准形式，但是b列出现负数，不能用原始单纯形法。
整理一下式子： M a x z ′ = ∑ i = 1 n − C i ∗ x i Max \,z_{'} = \sum_{i=1}^{n}{-C_i * x_i} Maxz′=∑i=1n−Ci∗xi
{ − a 11 x 1 − a 12 x 2 − a 13 x 3 . . . − a 1 m x m + x m + 1 = − A 1 − a 21 x 1 − a 22 x 2 − a 23 x 3 . . . − a 2 m x m + x m + 2 = − A 2 . . . − a n 1 x 1 − a n 2 x 2 − a n 3 x 3 . . . − a n m x m + x m + n = − A n x 1 , x 2 , x 3 . . . x m ≥ 0 \begin{cases} -a_{11}x_1-a_{12}x_2-a_{13}x_3...-a_{1m}x_m + x_{m+1} = -A_1 \\ -a_{21}x_1-a_{22}x_2-a_{23}x_3...-a_{2m}x_m + x_{m+2} = -A_2 \\ ...\\ -a_{n1}x_1-a_{n2}x_2-a_{n3}x_3...-a_{nm}x_m + x_{m+n} = -A_n \\ x_1,x_2,x_3 ... x_m \geq 0\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−a11x1−a12x2−a13x3...−a1mxm+xm+1=−A1−a21x1−a22x2−a23x3...−a2mxm+xm+2=−A2...−an1x1−an2x2−an3x3...−anmxm+xm+n=−Anx1,x2,x3...xm≥0
这里只介绍一下步骤。
(1)对线性规划问题是所有检验数<=0,即对偶问题为基可行解。(本题初始既满足)。
(2)检验：若b列都非负，检验数都非正，已达到最优解，停止计算。
(3)按 m i n [ ( B − 1 b ) i , ∣ ( B − 1 b < 0 ) i ] = ( B − 1 b ) l min[(B^{-1}b)_i,|(B^{-1}b<0)_i]=(B^{-1}b)_l min[(B−1b)i,∣(B−1b<0)i]=(B−1b)l对应的基变量 x l x_l xl为换出变量
(4)检查 x l x_l xl行各系数 a l j a_{lj} alj，若所有 a l j > = 0 a_{lj}>=0 alj>=0，说明无解。否则，计算 θ = m i n j ( c j − z j a l j ∣ a l j < 0 ) = c k − z k a l k \theta = min_j(\frac{c_j-z_j}{a_{lj}} |a_{lj}<0) = \frac{c_k-z_k}{a_{lk}} θ=minj(aljcj−zj∣alj<0)=alkck−zk，以对应的 x k x_k xk 为换入变量( θ \theta θ规则保证对偶问题的解仍为可行解)。
(5)以 a l k a_{lk} alk为主元素，进行迭代，得到新表。
重复(2)～(5)。
#include 一些补充说明
1.这四个程序在运算速度上没有本质上的差别，实际测试中人工变量法稍慢。
2.原问题的线性规划模型是一步到位的，但不是标准形式，具体的解决方法有很多，可见线性规划与单纯形法内容丰富，体系比较完备。
3.在已有的题解中，绝大多数作者是使用网络流来做。本题费用流的建图方法颇有挑战性，而线性规划模型简单很多，程序实现上单纯形法稍微麻烦一点，而这两类方法时间复杂度都比较高而且玄学，难分高下。总的来说，线性规划的方法更方便。
供参考的资料：
https://10420.blog.luogu.org/solution-p3980
https://blog.csdn.net/little_cats/article/details/81189794
（注：这篇是作为《管理运筹学》自选题写的）