04.第二章 抽样分布及若干预备知识(3)

第二章 抽样分布及若干预备知识(3)

1.$\Gamma$分布与$\mathrm{B}$分布

在了解$\Gamma$分布与$\mathrm{B}$分布之前，要先知道$\Gamma$函数和$\mathrm{B}$函数。

$\Gamma$函数：定义为$\Gamma (x)={\int }_0^{\infty }{t}^{x-1}{e}^{-t}dt\cdot I_{(x>0)}$。

• 其主要取值为$\Gamma (1)={\int }_0^{\infty }{e}^{-t}dt=1,\Gamma (\frac{1}{2})={\int }_0^{\infty }{t}^{-1/2}{e}^{-t}dt=\sqrt{\pi }$。
• 余元公式：对于$0<s<1$，有$\Gamma (s)\Gamma (1-s)=\frac{\pi }{\sin \pi s}$，利用此公式得到$\Gamma (\frac{1}{2})$的值。
• 递归公式：$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$，所以$\Gamma$函数可以看成阶乘在实数域上的延拓。

$\mathrm{B}$函数：定义为$\mathrm{B}(a,b)={\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}dx,a>0,b>0$。

• 可以证明$\mathrm{B}(a,b)=\mathrm{B}(b,a)$。
• $\mathrm{B}(a,b)=\frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}$，如果$a,b$都是正整数，则有$\mathrm{B}(a,b)=\frac{1}{C_{a+b-2}^{a-1}}$。由于已知$\mathrm{B}$函数值总是落在0、1之间，所以$\Gamma (a+b)$要在分母的位置。

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现在可以给出$\Gamma$分布与$\mathrm{B}$分布。

$\Gamma$分布：概率密度为$\Gamma (x;\alpha ,\lambda )=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}{I}_{(x>0)}$，其决定式为$x^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}$。

• 利用$\Gamma$函数可以给出其正则化因子。
  $$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}dx\\ =& \frac{1}{{\lambda }^{\alpha -1}}{\int }_0^{\infty }(\lambda x{)}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}dx\\ =& \frac{1}{{\lambda }^{\alpha }}{\int }_0^{\infty }(\lambda x{)}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}d(\lambda x)\\ =& \frac{\Gamma (\alpha )}{{\lambda }^{\alpha }}\end{array}$$
  其正则化因子可以帮助我们很快地找到期望与方差。

• 可以验证$\Gamma$分布的可加性与可乘性，即$X_1\sim \Gamma ({\alpha }_1,\lambda ),X_2\sim \Gamma ({\alpha }_2,\lambda )$且独立，则$X_1+X_2\sim \Gamma ({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda )$；若$X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )$，则$kX\sim \Gamma (\alpha ,\lambda /k)$。

• $\Gamma$分布的期望为$EX=\alpha /\lambda$，方差为$\alpha /{\lambda }^2$。

$\mathrm{B}$分布：概率密度为$\mathrm{B}(x;a,b)=\frac{1}{\mathrm{B}(a,b)}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}{I}_{(0<x<1)}$，其决定式为$x^{a-1}(1-x{)}^{b-1}$。

• $\mathrm{B}$分布的正则化因子是显然的。

• 根据$\mathrm{B}$函数与$\Gamma$函数的关系，可以得到期望与方差，分别为
  $$X\sim \mathrm{B}(a,b),EX=\frac{a}{a+b},DX=\frac{ab}{(a+b{)}^2(a+b+1)}$$

2.${\chi }^2$分布

${\chi }^2$分布：设$X_1,X_2,\cdots ,X_n\text{i.i.d.}\sim N(0,1)$，则$\xi ={\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$被称为自由度为$n$的${\chi }^2$变量，其分布称为自由度为$n$的${\chi }^2$分布，记作$\xi \sim {\chi }_n^2$。也就是说，$n$个独立的标准正态变量平方和构成自由度为$n$的${\chi }^2$变量。

${\chi }^2$分布的概率密度函数如下：
$$g_n(x)=\{\begin{array}{lc}\frac{1}{2^{n/2}\Gamma (n/2)}{x}^{n/2-1}{e}^{-x/2},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$
去掉正则化因子，得到${\chi }^2$分布的决定式为$g_n(x)\propto x^{n/2-1}{e}^{-x/2}{I}_{(x>0)}$。要证明其概率密度函数的形式需要用到球坐标变换。

与$\Gamma$分布对比，可以发现实际上${\chi }_n^2$的分布等同于$\Gamma (\frac{n}{2},\frac{1}{2})$。如果给定$X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )$，则$2\lambda X\sim \Gamma (\alpha ,1/2)={\chi }_{2\alpha }^2$，这就是$\Gamma$分布与${\chi }^2$分布的互相转化。

接下来求${\chi }^2$变量的一些性质。

• $\xi \sim {\chi }_n^2$，则其特征函数为$\phi (t)=(1-2it{)}^{-n/2}$。要证明这个结论，可以先找$\Gamma (\alpha ,\lambda )$的特征函数，设$X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )$，则有
  $$E(e^{itX})=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\int }_0^{\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}{e}^{itx}dx=(\frac{\lambda }{\lambda -it}{)}^{\alpha }$$
  而$\xi \sim {\chi }_n^2=\Gamma (n/2,1/2)$，代入数据得
  $$\phi (t)=(\frac{1/2}{1/2-it}{)}^{n/2}=(1-2it{)}^{n/2}$$

• $\xi \sim {\chi }_n^2$，则$E\xi =n,D\xi =2n$。有了$\Gamma$分布的期望与方差就可以代入求。

• 可加性：$Z_1\sim {\chi }_{n_1}^2,Z_2\sim {\chi }_{n_2}^2$，则$Z_1+Z_2\sim {\chi }_{n_1+n_2}^2$。这既可以用特征函数，也可以用$\Gamma$分布的可加性，还可以用${\chi }^2$变量的定义来证明。

3.$t$分布

$t$分布：设有两个相互独立的随机变量$X\sim N(0,1),Y\sim {\chi }_n^2$，则$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$称为自由度为$n$的$t$变量，其分布为自由度为$n$的$t$分布，记作$T\sim t_n$。形式上，$t$分布表现为正态分布除以归一化的卡方分布。

$t$分布的概率密度函数为$t_n(x)=\frac{\Gamma (\frac{n+1}{2})}{\Gamma (\frac{n}{2})\sqrt{n\pi }}(1+\frac{x^2}{n}{)}^{-(n+1)/2}$。其证明用到以下两个引理：

• 设$X$是一维连续随机变量，概率密度为$f_X(x)$，则$Y=aX+b$的概率密度为$f_Y(y)=\frac{1}{|a|}{f}_X(\frac{y-b}{a})$。
• 设$(X,Y)$是二维连续随机变量，概率密度为$f(x,y)$，则$Z=Y/X$的概率密度为$f_z(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }|x|f(x,xz)dx$。

首先计算$Y/n$的概率密度，由引理1，可以得到
$$\begin{array}{rl}& f_{Y/n}(x)\\ =& \frac{n}{2^{n/2}\Gamma (n/2)}(nx{)}^{n/2-1}{e}^{-nx/2}{I}_{(x>0)}\\ =& \frac{(n/2{)}^{n/2}}{\Gamma (n/2)}{x}^{n/2-1}{e}^{-nx/2}{I}_{(x>0)}\end{array}$$
接下来计算$\sqrt{Y/n}$的概率密度，首先有
$$F_{\sqrt{(Y/n)}}(y)=P\{\sqrt{Y/n}\le y\}=P\{Y/n\le y^2\}=F_{Y/n}(y^2)$$
对等式两边同时求导，得
$$\begin{array}{rl}& f_{\sqrt{(Y/n)}}(y)=2y{f}_{Y/n}(y^2)\\ =& \frac{2y(n/2{)}^{n/2}}{\Gamma (n/2)}(y^2{)}^{n/2-1}{e}^{-n{y}^2/2}{I}_{(y>0)}\\ =& \frac{2(n/2{)}^{n/2}}{\Gamma (n/2)}{y}^{n-1}{e}^{-n{y}^2/2}{I}_{(y>0)}\end{array}$$
接下来求$\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$的分布，由于$X,Y$独立，所以联合分布为边际分布之乘积，于是
$$\begin{array}{rl}{f}_T(z)=& {\int }_{-\infty }^{\infty }|x|f(x,xz)dx\\ =& {\int }_{-\infty }^{\infty }|x|\frac{2(n/2{)}^{n/2}}{\Gamma (n/2)}{x}^{n-1}{e}^{-n{x}^2/2}{I}_{(x>0)}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\text{exp}\left\{-\frac{(xz{)}^2}{2}\right\}dx\\ =& {\int }_0^{\infty }\frac{\sqrt{2}(n/2{)}^{n/2}}{\sqrt{\pi }\Gamma (n/2)}{x}^n{e}^{-\frac{x^2}{2}(n+z^2)}dx\end{array}$$
整理成这个形式以后，要想办法向$\Gamma$函数靠近，所以令$u=\frac{x^2}{2}(n+z^2)$，就有$x=\sqrt{\frac{2u}{n+z^2}},dx=\frac{1}{\sqrt{2u(n+z^2)}}du$，代入可得
$$\begin{array}{rl}{f}_T(z)=& {\int }_0^{\infty }\frac{\sqrt{2}(n/2{)}^{n/2}}{\sqrt{\pi }\Gamma (n/2)}{\sqrt{\frac{2u}{n+z^2}}}^n{e}^{-u}\frac{1}{\sqrt{2u(n+z^2)}}du\\ =& {\int }_0^{\infty }\frac{\sqrt{2^n}(n/2{)}^{n/2}}{\sqrt{\pi (n+z^2{)}^{n+1}\Gamma (n/2)}}{u}^{(n-1)/2}{e}^{-u}du\\ =& \frac{\Gamma (\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi }\Gamma (\frac{n}{2})}{\left(1+\frac{z^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}\end{array}$$
这就得到$t$分布的概率密度函数。总结以上过程，第一步先求得$Y/n$的分布，然后求$\sqrt{Y/n}$的分布，最后求$X/\sqrt{Y/n}$的分布，过程中用到一些变换引理。

$t$分布的一些性质：

• 若$T\sim t_n$，则$E(T^r)$只有在$r<n(n>1)$时存在（严格小于），而$n\ge 2$时$E(T)=0$，$n\ge 3$时$D(T)=n/(n-2)$。
• 自由度为1的$t$分布就是柯西分布，柯西分布不存在均值。
• $n\to \infty$时$t$变量的极限分布是正态分布。

4.$F$分布

$F$分布：对于两个独立的${\chi }^2$变量$X\sim X_m^2,Y\sim X_n^2$，称$F=\frac{X/m}{Y/n}$是自由度为$m,n$的$F$变量，服从自由度为$m,n$的$F$分布，记作$F\sim F_{m,n}$。注意分子的自由度在前。

$F$分布的密度函数为$f_{m,n}(x)=\frac{\Gamma (\frac{m+n}{2})}{\Gamma (\frac{n}{2})\Gamma (\frac{m}{2})}{m}^{m/2}{n}^{n/2}{x}^{m/2-1}(n+mx{)}^{-(m+n)/2}$。

$F$分布的一些性质：

• 若$Z\sim F_{m,n}$，则$1/Z\sim F_{n,m}$。
• 若$T\sim t_n$，则$T^2\sim F_{1,n}$。
• 若$Z\sim F_{m,n}$，则$EZ=n/(n-2),n>2;DZ=2n^2(m+n-2)/m(n-2{)}^2(n-4),n>4$。
• 记$F_{m,n}(\alpha )$为其上$\alpha$分位数。$F_{m,n}(1-\alpha )=1/F_{n,m}(\alpha )$。有了这个性质，我们可以对$\alpha =0.95,0.99$之类的值进行分位数求值。

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关于三大分布，最主要的应用在于它们的定义式，以及用作区间估计、假设检验中查分位数表，均值、方差等数字特征并不常用，概率密度函数也并不很重要。

5.一些推论

对于一系列正态变量$X_1,\cdots ,X_n$，其中$X_i\sim N(a_i,{\sigma }_i^2)$，有
$$\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-a_i}{{\sigma }_i}\right)}^2\sim {\chi }_n^2$$
这是联系正态变量与卡方变量的直接方式。

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若$X_1,\cdots ,X_n\text{i.i.d}\sim N(a,{\sigma }^2)$，则
$$T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-a)}{S}\sim t_{n-1}$$
证明如下，因为$\bar{X}\sim N(a,\sigma /n)$，所以将其标准化后，有
$$N_1=\frac{\bar{X}-a}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$
而$N_2=(n-1)S^2/{\sigma }^2\sim {\chi }_{n-1}^2$，所以
$$\frac{N_1}{\sqrt{N_2/(n-1)}}=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-a)}{\sigma }\cdot \sqrt{\frac{{\sigma }^2}{S^2}}=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-a)}{S}\sim t_{n-1}$$
这常用于一组样本在未知方差情形下的均值检验。

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设$X_1,\cdots ,X_m\text{i.i.d.}\sim N(a_1,{\sigma }^2),Y_1,\cdots ,Y_n\text{i.i.d.}\sim N(a_2,{\sigma }^2)$，且两组样本独立，则有
$$\begin{gathered} T=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(a_1-a_2)}{S_w}\cdot \sqrt{\frac{mn}{m+n}}\sim t_{m+n-2} \\ 其中S_w^2=\frac{1}{m+n-2}[\sum _{i=1}^m(X_i-\bar{X}{)}^2+\sum _{j=1}^n(Y_i-\bar{Y}{)}^2] \end{gathered}$$
证明如下，由于$\bar{X}\sim N(a_1,{\sigma }^2/m),\bar{Y}\sim N(a_2,{\sigma }^2/n)$，所以
$$\begin{gathered} \bar{X}-\bar{Y}\sim N\left(a_1-a_2,{\left(\sigma \sqrt{\frac{m+n}{mn}}\right)}^2\right) \\ {N}_1=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(a_1-a_2)}{\sigma \sqrt{\frac{m+n}{mn}}}\sim N(0,1) \end{gathered}$$
而$(m+n-2)S_w^2=(m-1)S_X^2+(n-1)S_Y^2$，由于${\chi }^2$分布的可加性，有
$$N_2=\frac{(m+n-2)S_w^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{m+n-2}^2$$
所以
$$\frac{N_1}{\sqrt{N_2/(m+n-2)}}=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(a_1-a_2)}{\sigma \sqrt{\frac{m+n}{mn}}}\cdot \frac{\sigma }{S_w}=T\sim t_{m+n-2}$$
这常用于两组样本在方差相等但未知的情况下估计均值差异。

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设$X_1,\cdots ,X_m\text{i.i.d.}\sim N(a_1,{\sigma }_1^2),Y_1,\cdots ,Y_n\text{i.i.d.}\sim N(a_2,{\sigma }_2^2)$，且两组样本相互独立，则
$$F=\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}\sim F_{m-1,n-1}$$
适用于检验两个正态样本方差比值的检测。

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设$X_1,\cdots ,X_n\text{i.i.d.}\sim f(x,\lambda )=\lambda e^{\lambda x}{I}_{(0,\infty )}(x)$，则有
$$2\lambda n\bar{X}=2\lambda \sum _{i=1}^n\sim {\chi }_{2n}^2$$
只要注意到$\Gamma (n,\lambda )$是$n$个同分布指数分布$E(\lambda )$的和即可，即${\sum }_{i=1}^n{X}_i=\xi \sim \Gamma (n,\lambda )$即可。