PDEBench-AI求解微分方程新基准

近年来，物理驱动深度学习方法非常热门，特别是在求解逆问题上有独特的优势。在该领域，很多研究者在不同数据集上已经提出了性能非常好的求解算法。但都在各自数据集和问题上进行测试比较，发展类似图像benchmark如CIFAR10等公开数据集，比较迫切。

现在，在AI求微分方程领域制作了一个PDEBench，该论文也是发表在了NeurIPS 2022。

• PDEBench不仅能当成一个大型偏微分方程数据集，也能作为新AI求解偏微分方程的基准之一。
• 近年来比较火的如FNO（用上傅里叶变换，很快啊，AI几秒钟就能解出偏微分方程），相关代码比较也被放入了PDEBench中。

为什么AI求解PDE如此热门

• 反问题计算上有比较大的优势。传统数值方法主要针对复杂问题的正计算，如已知边界条件、已知控制方程下的正计算，优势非常强。相比之下，在正计算问题上，深度学习方法逊色一些。但针对一些反问题，如已知一些测量数据和部分物理（方程中某些参数未知、边界条件未知），深度学习方法可以形成数据和物理双驱动的模型，比基于传统数值方法去做数据同化（data assimilation）效率更高。
  

• 需要做快速推断时，优势更明显。一方面，当面对一些数值问题，可以不需要熟悉数值方法背景（不必利用数值格式去推导求解），可以直接利用加物理损失的方法得到一个参考解；另一方面，当问题边界需要不停地换，或者很多源需要不停的变化的问题设定下，如果利用大量时间去训练一个网络，如利用lulu老师提出deeponet方法 [1]（物理驱动的神经网络方法），在推断阶段就能实现快速预测。
  

• 高维问题上的潜在优势。神经网络确实能处理许多高维问题，但很难说神经网络方法在一些benchmark问题上已经完全超越了传统问题，还需要进一步讨论。

非常全面的AI偏微分方程基准

研究人员提出了一种名叫PDEBench的基准。PDEBench提供了当前现有的一些基准方法和未来的机器学方法，以及多个来自科学的难题数据集，包括二维和三维的波传播和湍流流动 。

此外，该PDEBench包括的所有数据集如下：

同时，PDEBench也提出了如下几个指标，用以更全面地对模型进行评估。

最后，PDEBench还包含了几种经典模型代码，并将它们作为评估其他模型的基准之一，包括现在比较热门的FNO、U-Net、PINN等。

该团队针对PDEBench的可扩展性进行了优化，可以在他们工作基础上加入更多的数据集、或是更多基准模型。

值得注意的是，团队也在PyTorch和JAX两种框架上运行几种预训练模型，发现JAX的速度大约是PyTorch的6倍。可见用JAX实现AI求解PDE在计算上存在较大优势。

参考链接

https://mp.weixin.qq.com/s/3WgMyJwMYKAxqb2M4mWGIw
https://mp.weixin.qq.com/s/X4-OiRVxWJGFMN6h7M_upQ