常用的统计量和抽样分布

一、统计量

样本均值：即在总体中的样本数据的均值，反映样本数据的集中趋势。

样本方差：每个样本值与全体样本值平均数之差的平方值的平均数；方差是用来衡量随机变量和其数学期望（均值）之间的偏离程度。

样本变异系数：变异系数又称为离散系数，定义为标准差与平均值之比，样本变异系数即样本数据的标准差与其均值之比。

样本k阶中心矩：在概率论中，矩是用来描述随机变量的某些特征的数字，即求平均值；随机变量X的K阶中心矩定义：对于正整数k，如果E(X)存在，
E[(X-E(X))^K] <无穷大，
则 E[(X-E(X))^K] 为x的k阶中心矩。

样本偏度：常用作总体偏度的估计量和检验总体分布正态性的统计量，样本三阶中心距除以二阶中心距的3/2次幂的商记为SK；而总体偏度是一个描述总体分布不对称性的数字特征，正态分布的偏度为0。

样本峰度：常用以作为总体峰度的估计量，样本的四阶中心距除以样本二阶中心距平方的商再减去3，记为ku；正态分布的峰度为0。

二、抽样分布

中心极限定理：即不论总体服从什么分布，只要从总体中抽取的样本容量足够大，这些样本组成的样本均值的抽样分布都近似于正态分布。

样本方差的分布：作为随机变量的函数，样本方差本身就是一个随机变量，S^2服从卡方分布，
$$\frac{s^2}{{\sigma }^2}(n-1)$$~ $$X_{(}^{2}n-1)$$

卡方分布：
卡方统计量是一个随机变量，能够表明样本方差和总体方差之间对的比值关系，卡方统计量决定的抽样分布就是卡方分布；
卡方统计量：$${\chi }^2=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }^2}$$

定义：若样本量为n的所有可能样本均取自方差为$${\sigma }^2$$的正态分布总体，计算每一个样本的卡方值（$${\chi }^2$$），那么这些卡方值将构成关于样本方差和总体方差的卡方分布。卡方分布是一个连续型该流程分布。

作用：卡方分布能够用于从样本方差到总体方差的推断性分析；还能用于非参数检验（卡方检验）。

T分布：
若已知待分析的总体服从正态分布，从总体中抽取容量为n 的所有可能样本，计算出每个样本的T统计量，则所有的T统计量的值将组成一个连续型概率分布，此分布为T分布。T分布能在部分已知条件下，用于总体均值的推断分析。
对于T分布来说，如果总体服从正态分布，总体标准差未知，当样本容量小于30时，那么样本均值的抽样分布服从T~t(n-1)的T分布；
若总体服从正态分布，总体标准差未知，样本容量大于等于30时，那么样本均值的抽样分布不仅服从T~t(n-1)的T分布，而且还可以用Z分布来近似表达。

F分布：
F分布能通过两个样本之间的关系推导出两个总体之间的关系，能用于推断两个总体方差之间的比值关系。

F统计量：两个正态分布总体，总体方差为$${\sigma }_1^2$$， $${\sigma }_2^2$$，分别从总体中抽取样本容量为n1,n2的样本，样本方差为$$s_1^2$$，$$s_2^2$$，则F统计量为
$$F=\frac{\frac{s_1^2}{{\sigma }_1^2}}{\frac{s_2^2}{{\sigma }_2^2}}=\frac{s_1^2{\sigma }_2^2}{s_2^2{\sigma }_1^2}$$

F分布有两个自由度，分子自由度为v1=(n1-1)，分母自由度为v2=(n2-1)，因此，由F统计量组成的F分布可以表示为：

F统计量可看成是由两个卡方统计量相除得到的，F分布也被成为方差比分布，假设两个正态分布总体的卡方统计量为$${\chi }_1^2$$, $${\chi }_2^2$$

$$\frac{{\chi }_1^2/v_1^2}{{\chi }_2^2/v_2^2}$$~F(n1-1,n2-1)