用蒙特卡洛法实现对排队等待问题的计算机模拟

在日常生活中，我们每天都会遇到各种各样的排队。比如：银行中取款要排队，火车站买票要排队，超市、商场中购物付款要排队，预订旅馆或机票时也要排队，人们仿佛置身于一个排队的社会。

所谓排队，就是等候消费服务的顾客在进入点前排队(意大利G·佩里切利)。排队的类型一般来说有以下几种：

一个服务点。即只有一个点可供顾客选择等候服务，顾客只能按顺序一个接一个等侯，这样排队，顾客多的时候最混乱。现在这种排队类型已不多见。

多个服务点。即有两个或两个以上的点可供顾客选择，每一点都可排成一条队。多个服务点可减轻一个服务点的负担，增加顾客选择服务点的灵活性，同时顾客还可选择自己喜欢的服务员。

专门服务点。即专门为某些特殊的顾客开辟的服务点。专门的服务点可以保证某些特殊顾客的特殊权益，如：减少顾客等待服务时间，同时使一些顾客分离出来，减轻其服务口的压力。

我们拿一个理发店的实际例子来分析：

某理发馆每天早晨开业后，顾客的到来总是陆续不断的，他们到来的间隔时间，给统计如下：

到达时间间隔（分钟）	频率
4	0.07
5	0.10
6	0.52
7	0.20
8	0.11

顾客到来后,由管理人员引导至A、B、C三个服务椅（理发员固定在服务椅上），各服务椅的服务内容相同，但服务时间有多有少，根据以往统计资料，他们的服务时间分布如下：

A		B		C
时间（分）	频率	时间（分）	频率	时间（分）	频率
8 9 10 11	0.18 0.22 0.33 0.27	10 11 12 13	0.18 0.19 0.35 0.28	12 13 14 15	0.15 0.22 0.36 0.27
	1.00		1.00		1.00

当有一个以上服务椅空闲时，管理人员按字母排列次序引导顾客至服务椅去进行服务。顾客中有10%属“特殊顾客”理发很费时间，每人需多4分钟。现模拟10位顾客的到来和服务情况，并分析三个服务椅的忙闲情况。

顾客到达时间间隔	频率	累计频率	对应的 随机数	A服务时间	频率	累计频率	对应的随机数
4	0.07	0.07	0.00~0.06	8	0.18	0.18	0.00~0.17
5	0.10	0.17	0.07~0.16	9	0.22	0.40	0.18~0.39
6	0.52	0.69	0.17~0.68	10	0.33	0.73	0.40~0.72
7	0.20	0.89	0.69~0.88	11	0.27	1.00	1.00
8	0.11	1.00	0.89~1.00

B服务时间	频率	累计频率	对应的 随机数	C服务时间	频率	累计频率	对应的 随机数
10	0.18	0.18	0.00~0.17	12	0.15	0.15	0.00~0.14
11	0.19	0.37	0.18~0.36	13	0.22	0.37	0.15~0.36
12	0.35	0.72	0.37~0.71	14	0.36	0.73	0.37~0.72
13	0.28	1.00	0.72~1.00	15	0.37	1.00	0.72~1.00

我们采用二位随机数来模拟顾客到来间隔和服务情况,并选定碰到个位数是5，就作为“特殊顾”（占10%）现从随机数中抽取随机数如下：

顾客	顾客到来时间间隔		服务随机数
	随机数	时间间隔（分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	（14） 46 11 66 60 90 33 65 72 92	6 5 6 6 8 6 6 7 8	00 99 20 19 32 40 20 01（特殊顾客） 68 87

设第一个顾客到达的时间是在3点正，随机数是14，此数本不需要，主要是看一下是不是“特殊顾客”，现此数尾数不是5说明第一位不是“特殊顾客”。第一个顾客到达，按字母的顺序应到A服务椅，随机数00，表示要服务8分钟，第二个顾客到达与第一个顾客的间隔时间，按随机数46应为6分钟，即在8.06时，服务椅A正在使用，因此到服务椅B，服务随机数99，应服务13分钟，如此编成表如下：

顾客	到达时间	服务椅	等待时间	服务 时间	A		B		C
					到达	离开	到达	离开	到达	离开
1	8:00	A		8	8:00	8:08
2	8:06	B		13			8:06	8:19
3	8:11	C		13					8:11	8:24
4	8:17	A		9	8:17	8:26
5	8:23	B		11			8:23	8:34
6	8:31	A		10	8:31	8:41
7	8:37	B		10			8:37	8:47
8	8:43	A		12	8:43	8:55
9	8:50	B		12			8:50	9:02
10	8:58	A		11	8:58	9:09
共计				109

*为“特殊顾客”服务时间8（分）+4（分）=12（分）

10个顾客在系统内的总时间为63分。

分析：

1．10个顾客在系统（理发馆内）的总时间为69分，平均每人69/10=6.9分

2．10个顾客总的服务时间为109分。平均每人服务109/10=10.9分

3．统内无等待时间，即没出现顾客排队等待问题.

4．椅的服务情况如下：

	A	B	C
服务顾客数 总的服务时间（分） 为每个顾客的平均服务时间 空闲时间 空闲占总的时间%	5 50 10 19 27.3%	4 46 11.5 23 33.3%	1 13 13 56 81.2%

在此基础上，可用计算机编写程序，在计算机上实现仿真模拟，用以模拟更多时间和更多顾客时的情况。以下用Matlab编写的模拟程序的算法部分：

function [num,pass]=computing(tim0)

seat=[0 0 0];%服务员属性
pass=rand(1,4);%顾客信息：序号、到达时间、特殊要求时间、正常理发时间
pass(5)=0;%理发员
pass(6)=0;%离开时间
pass(7)=0;%等待时间
num=1;%服务人数初始化
tim=0;%时间计数器
temp=0;%

while tim<=tim0 
    pass(num,1)=num;  %装入序号
    pass(num,2)=rand;
    pass(num,3)=rand;
    pass(num,4)=rand;
    
    %计算顾客到达时间
    if pass(num,2)<=0.07
       temp=4;
    else if  pass(num,2)<=0.17
            temp=5;
        else if  pass(num,2)<=0.69
            temp=6;
            else if  pass(num,2)<=0.89
            temp=7;
                else temp=8;
                end
            end
        end
    end
    tim=tim+temp;   %装入顾客到达时间
    pass(num,2)=tim;
    if pass(num,3)<=0.1 
        pass(num,3)=4;  %装入需要特殊服务的时间
    else pass(num,3)=0;
    end
    num=num+1;
end
num=num-1;

for i=1:num
    
    %计算顾客的理发席位
    if seat(1)<=pass(i,2)+pass(i,7)
        pass(i,5)=1; %由1号服务员理发
        temp1=timinge1(1,pass(i,4));
        seat(1)=pass(i,2)+pass(i,3)+temp1;
        pass(i,4)=temp1;  %装入正常理发所需时间
    else if seat(2)<=pass(i,2)+pass(i,7)
            pass(i,5)=2;  %由2号服务员理发
            temp1=timinge1(2,pass(i,4));
            seat(2)=pass(i,2)+pass(i,3)+temp1;
            pass(i,4)=temp1; %装入正常理发所需时间
        else if seat(3)<=pass(i,2)+pass(i,7)
                pass(i,5)=3; %由2号服务员理发
                temp1=timinge1(3,pass(i,4));
                seat(3)=pass(i,2)+pass(i,3)+temp1;
                pass(i,4)=temp1;                
            else               %计算等待时间
                x=seat(1);
                y=1; 
                if x>seat(2)
                    x=seat(2);
                    y=2;
                end
                if x>seat(3)
                    x=seat(3);
                    y=3;
                end
                pass(i,5)=y;
                temp1=timinge1(y,pass(i,4));
                pass(i,7)=seat(y)-pass(i,2);
                seat(y)=seat(y)+temp1+pass(i,3);
                pass(i,4)=temp1;
            end
        end
    end
pass(i,6)=pass(i,2)+pass(i,3)+pass(i,4);
end

function xxxx=timinge1(vect1,vect)

switch vect1
    case 1    
       if vect<=0.18
            xxxx=8;
        else if  vect<=0.4
               xxxx=9;
            else if vect<=0.77
                    xxxx=10;
                else xxxx=11;
                end
            end
       end
   case 2    
       if vect<=0.18
            xxxx=10;
        else if  vect<=0.37
               xxxx=11;
            else if vect<=0.72
                    xxxx=12;
                else xxxx=13;
                end
            end
       end
    otherwise  
        if vect<=0.15
            xxxx=12;
        else if  vect<=0.37
               xxxx=13;
            else if vect<=0.74
                    xxxx=14;
                else xxxx=15;
                end
            end
       end
end

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