0203高阶导数-导数与微分-高等数学

1 高阶导数的定义

一般地，函数$y=f(x)$的导数$y^{{}^{\prime }}=f^{{}^{\prime }}(x)$仍然是$x$的导数。我们把$y^{{}^{\prime }}=f^{{}^{\prime }}(x)$的导数叫做函数$y=f(x)$的二阶导数，记做$y^{{}^{\prime \prime }}或者\frac{d{y}^2}{d{x}^2}$;类似地，二级导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数…一般地，$(n-1)$阶导数的导数叫做n阶导数，分别记做

$y^{{}^{\prime \prime \prime }},y^{(4)},\cdots ,y^{(n)}$或者$\frac{d{y}^3}{d{x}^3},\frac{d{y}^4}{d{x}^4},\cdots ,\frac{d{y}^n}{d{x}^n}$

二阶即二阶以上的导数统称高阶导数。

注：

• 零阶导数：$f(x)$,一阶导数：$f^{{}^{\prime }}$
• 若$f(x)$在x处具有n阶导数，那么$f(x)$在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。
• C(a,b):在开区间$(a,b)$内连续的函数的集合,$D(a,b)$所有在开区间$(a,b)$内可导的函数的集合。

2 高阶导数的求导

2.1 直接法

例1：求$y=e^{\lambda x}的n$阶导数($\lambda$为常数)
$$y^{{}^{\prime }}=\lambda e^{\lambda }x,y^{{}^{\prime \prime }}={\lambda }^2{e}^{\lambda }x，\cdots ,y^{(n)}={\lambda }^n{e}^{\lambda }x$$

$(e^x{)}^{(n)=e^x}$

$(e^{\lambda x}{)}^{(n)}={\lambda }^n{e}^{\lambda }x$

例2：求$y=\sin \omega x的n$阶导数
$$\begin{gathered} 解：y^{{}^{\prime }}=\omega \cos \omega x=\omega \sin (\omega x+\frac{\pi }{2}) \\ {y}^{{}^{\prime \prime }}={\omega }^2\cos (\omega x+\frac{\pi }{2})={\omega }^2\sin (\omega x+2\cdot \frac{\pi }{2}) \\ ... \\ {y}^{(n)}={\omega }^n\sin (\omega x+n\cdot \frac{\pi }{2}) \end{gathered}$$

$(\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+n\cdot \frac{\pi }{2})$

$(\sin \omega x{)}^{(n)}={\omega }^n\sin (\omega x+n\cdot \frac{\pi }{2})$

$(\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+n\cdot \frac{\pi }{2})$

$(\cos \omega x{)}^{(n)}={\omega }^n\cos (\omega x+n\cdot \frac{\pi }{2})$

例3：求:$y=a{x}^2+bx+c$的一阶、二阶、三阶导数
$$y^{{}^{\prime }}=2ax+b,y^{{}^{\prime \prime }}=2a,y^{{}^{\prime \prime \prime }}=0$$

一般地，$f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+...+a^{n-1}x+a_n$

$f^{(n)}(x)=a_{0}n!,f^{(n+k)}(x)=0(k=1,2,\cdots )$

幂函数$x^m的n阶导数为$
$$(x^m{)}^{(n)}=\{\begin{array}{l}m(m-1)\cdot (m-n+1)x^{m-n}，m>n\\ n!,m=n\\ 0，m<n\end{array}$$
$m\in N^{+}$

例4：求$y=(x+c{)}^{\mu }的n$阶导数。
$$\begin{gathered} y^{{}^{\prime }}=\mu (x+c{)}^{u-1} \\ {y}^{{}^{\prime \prime }}=\mu (\mu -1)(x+c{)}^{u-2} \\ {y}^{(n)}=\mu (\mu -1)\cdots (\mu -n+1)(x+c{)}^{u-n}(n=1,2,\cdots ) \end{gathered}$$

$\mu =-1时,(\frac{1}{x+c}{)}^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(x+c{)}^{n+1}}$

$[\ln (1+x){]}^{(n)}=(\frac{1}{x+c}{)}^{(n-1)}=\frac{(-1{)}^{n-1}(n-1)!}{(x+1{)}^n}$

常用高阶导数公式：

(1)$(e^{\lambda x}{)}^{(n)}={\lambda }^n{e}^{\lambda x}$

(2)$(\sin \omega x{)}^{(n)}={\omega }^n\sin (\omega x+n\cdot \frac{\pi }{2})$

(3)$(\cos \omega x{)}^{(n)}={\omega }^n\cos (\omega x+n\cdot \frac{\pi }{2})$

(4)$[\ln (1+x){]}^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n-1}(n-1)!}{(x+1{)}^n}x>-1$

(5)$(\frac{1}{x+1}{)}^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(x+1{)}^{n+1}}$

(6)$(\frac{1}{ax+b}{)}^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n}n!a^n}{(ax+b{)}^{n+1}}a\ne 0$

2.2 间接法

高阶导数的运算法则：

设$u=u(x),v=v(x)具有n阶导数，则$

(1)$(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$

(2)$(Cu{)}^{(n)}=C{u}^{(n)},(C\in R)$

(3)$(uv{)}^{(n)}=C_n^0{u}^{(n)}{v}^{(0)}+C_n^1{u}^{(n-1)}{v}^{(1)}+\cdots +C_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}+\cdots +C_n^n{u}^{(0)}{v}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}$

(3)式被称为莱布尼茨公式

间接法就是利用高阶导数的运算法则及高阶导数的公式，通过适当的变形来求高阶导数的方法。

例6：求$y=\frac{x}{x^2-1}的n$阶导数。
$$\begin{gathered} y=\frac{x}{x^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}) \\ {y}^{(n)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}{)}^{(n)}=\frac{1}{2}[(\frac{1}{x-1}{)}^{(n)}+\frac{1}{x+1}{)}^{(n)}] \\ =\frac{1}{2}[\frac{(-1{)}^{n}n!}{(x-1{)}^{n+1}}+\frac{(-1{)}^{n}n!}{(x+1{)}^{n+1}}]=\frac{(-1{)}^{n}n!}{2}[\frac{1}{(x-1{)}^{n+1}}+\frac{1}{(x+1{)}^{n+1}}] \end{gathered}$$
例7：设$y={\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x,求y^{(n)}$
$$\begin{gathered} 如果直接计算的话会很复杂，那么我们尝试先化简 \\ y={\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)({\sin }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x) \\ =({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-\frac{3}{4}(-\frac{1}{2}\cos 4x-1) \\ =\frac{7}{8}+\frac{3}{8}cos4x \\ {y}^{(n)}=(\frac{7}{8}+\frac{3}{8}cos4x{)}^{(n)}=\frac{3}{8}{4}^n\cos (4x+n\cdot \frac{\pi }{2}) \end{gathered}$$
例8：求$y=x^2{e}^{-x}的10$阶导数
$$\begin{gathered} y^{(10)}=(x^2{e}^{-x}{)}^{(10)}=\sum _{k=0}^n(x^2{)}^{(k)}(e^{-x}{)}^{(n-k)} \\ =C_{10}^0{x}^2(e^{-x}{)}^{(10)}+C_{10}^1(x^2{)}^{{}^{\prime }}(e^{-x}{)}^{(9)}+C_{10}^2(x^2{)}^{{}^{\prime \prime }}(e^{-x}{)}^{(8)} \\ =x^2(e^{-x})-10\cdot 2x(e^{-x})+45\cdot 2(e^{-x})=e^{-x}(x^2-20x+90) \end{gathered}$$
注：莱布尼茨公式适用范围

• 求两个函数乘积的高阶导数
• 一般地，其中有一个函数是幂函数/多项式函数

例9：设$y=\arctan x,求y^{(n)}(0),(n>1)$
$$\begin{gathered} 直接求n阶导数很复杂，先求一阶导数 \\ {y}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{x^2+1}\to y^{{}^{\prime }}(x^2+1)=1 \\ 等式左侧为2个关于x的函数乘积形式，其他一个为多项式。 \\ [y^{{}^{\prime }}(x^2+1){]}^{(n-1)}=0 \\ {C}_{n-1}^0(x^2+1)y^{(n)}+C_{n-1}^1(x^2+1{)}^{{}^{\prime }}{y}^{(n-1)}+C_{n-1}^2(x^2+1{)}^{{}^{\prime \prime }}{y}^{(n-2)} \\ =(x^2+1)y^{(n)}+(n-1)2x{y}^{(n-1)}+(n-1)(n-2)y^{(n-2)}=0 \\ 把x=0带入：y^{(n)}(0)=-(n-1)(n-2)y^{(n-2)}(0) \\ {y}^{{}^{\prime }}(0)=1,y^{{}^{\prime \prime }}(0)=0因此 \\ {y}^{(n)}(0)=\{\begin{array}{l}0,n=2k,\\ (-1{)}^k(2k)!,n=2k+1(k=0,1,2,\cdots )\end{array} \end{gathered}$$

3 后记

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.P96~p100.

[2]【梨米特】同济七版《高等数学》全程教学视频｜纯干货知识点解析，应该是全网最细｜微积分 | 高数[CP/OL].2020-04-16.p15.