距离度量 —— 欧式距离（Euclidean Distance）

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一、概述

欧式距离，也称为 欧几里得距离，是我们从小学、初中、高中等等乃至现在都会用到的距离度量。

“两点之间线段最短” 大家都学过吧，这里只不过给换了一个高大上的英文名字，就是我们在小初高等试卷上计算距离的那个公式

二、计算公式

① 二维平面上的欧式距离

假设 二维平面 内有两点：$a(x_1,y_1)$ 与 $b(x_2,y_2)$

则二维平面的距离公式为：

$$d_{12}=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$$

举个例子，就比如上图的 $A(2,2)$ 与 $B(6,6)$ 两点，计算 $AB$ 两点的距离为：
$$\begin{array}{rl}{d}_{AB}& =\sqrt{(6-2{)}^2+(6-2{)}^2}\\ & =\sqrt{4^2+4^2}\\ & =4\sqrt{2}\end{array}$$

② 三维空间上的欧式距离

假设 三维空间 内有两点：$a(x_1,y_1,z_1)$ 与 $b(x_2,y_2,z_2)$

则三维空间的距离公式为：

$$d_{12}=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(z_1-z_2{)}^2}$$

举个例子，比如上图的 $A(0,0,4)$ 与 $B(0,2,0)$ 两点，计算 $AB$ 两点的距离为：

$$\begin{array}{rl}{d}_{AB}& =\sqrt{(0-0{)}^2+(0-2{)}^2+(4-0{)}^2}\\ & =\sqrt{0+4+16}\\ & =2\sqrt{5}\end{array}$$

③ n维空间上的欧式距离

假设 n维空间 内有两点：$a(x_{11},x_{12},...,x_{1n})$ 与 $b(x_{21},x_{22},...,x_{2n})$

则n维空间的距离公式为：

$$d_{12}=\sqrt{\sum _{k=1}^n(x_{1k}-x_{2k}{)}^2}$$

同理，n 维空间也是，将对应的向量作以上运算即可。（n 维的画不出来，需要用其他形式表示，就像下图一样）。