NNDL 作业11：优化算法比较

目录

1. 编程实现图6-1，并观察特征

2. 观察梯度方向

3. 编写代码实现算法，并可视化轨迹

4. 分析上图，说明原理

（1）为什么SGD会走“之字形”？其它算法为什么会比较平滑？

（2）Momentum、AdaGrad对SGD的改进体现在哪里？速度？方向？在图上有哪些体现？

（3）仅从轨迹来看，Adam似乎不如AdaGrad效果好，是这样么？

5. 总结SGD、Momentum、AdaGrad、Adam的优缺点

6. Adam这么好，SGD是不是就用不到了？

总结

---

1. 编程实现图6-1，并观察特征

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
 
 
# https://blog.csdn.net/weixin_39228381/article/details/108511882
 
def func(x, y):
    return x * x / 20 + y * y
 
 
def paint_loss_func():
    x = np.linspace(-50, 50, 100)  # x的绘制范围是-50到50，从改区间均匀取100个数
    y = np.linspace(-50, 50, 100)  # y的绘制范围是-50到50，从改区间均匀取100个数
 
    X, Y = np.meshgrid(x, y)
    Z = func(X, Y)
 
    fig = plt.figure()  # figsize=(10, 10))
    ax = Axes3D(fig)
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
 
    ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')
    plt.show()
 
 
paint_loss_func()

 

 

 这个函数是一条弧线，两端高，中间低，有全局最小值。

2. 观察梯度方向

这个梯度的特征是，y轴方向上大，x轴方向上小。换句话说, 就是y轴方向的坡度大，而x轴方向的坡度小。

3. 编写代码实现算法，并可视化轨迹

代码：

# coding: utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from collections import OrderedDict
 
 
class SGD:
    """随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）"""
 
    def __init__(self, lr=0.01):
        self.lr = lr
 
    def update(self, params, grads):
        for key in params.keys():
            params[key] -= self.lr * grads[key]
 
 
class Momentum:
    """Momentum SGD"""
 
    def __init__(self, lr=0.01, momentum=0.9):
        self.lr = lr
        self.momentum = momentum
        self.v = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.v is None:
            self.v = {}
            for key, val in params.items():
                self.v[key] = np.zeros_like(val)
 
        for key in params.keys():
            self.v[key] = self.momentum * self.v[key] - self.lr * grads[key]
            params[key] += self.v[key]
 
 
class Nesterov:
    """Nesterov's Accelerated Gradient (http://arxiv.org/abs/1212.0901)"""
 
    def __init__(self, lr=0.01, momentum=0.9):
        self.lr = lr
        self.momentum = momentum
        self.v = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.v is None:
            self.v = {}
            for key, val in params.items():
                self.v[key] = np.zeros_like(val)
 
        for key in params.keys():
            self.v[key] *= self.momentum
            self.v[key] -= self.lr * grads[key]
            params[key] += self.momentum * self.momentum * self.v[key]
            params[key] -= (1 + self.momentum) * self.lr * grads[key]
 
 
class AdaGrad:
    """AdaGrad"""
 
    def __init__(self, lr=0.01):
        self.lr = lr
        self.h = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.h is None:
            self.h = {}
            for key, val in params.items():
                self.h[key] = np.zeros_like(val)
 
        for key in params.keys():
            self.h[key] += grads[key] * grads[key]
            params[key] -= self.lr * grads[key] / (np.sqrt(self.h[key]) + 1e-7)
 
 
class RMSprop:
    """RMSprop"""
 
    def __init__(self, lr=0.01, decay_rate=0.99):
        self.lr = lr
        self.decay_rate = decay_rate
        self.h = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.h is None:
            self.h = {}
            for key, val in params.items():
                self.h[key] = np.zeros_like(val)
 
        for key in params.keys():
            self.h[key] *= self.decay_rate
            self.h[key] += (1 - self.decay_rate) * grads[key] * grads[key]
            params[key] -= self.lr * grads[key] / (np.sqrt(self.h[key]) + 1e-7)
 
 
class Adam:
    """Adam (http://arxiv.org/abs/1412.6980v8)"""
 
    def __init__(self, lr=0.001, beta1=0.9, beta2=0.999):
        self.lr = lr
        self.beta1 = beta1
        self.beta2 = beta2
        self.iter = 0
        self.m = None
        self.v = None
 
    def update(self, params, grads):
        if self.m is None:
            self.m, self.v = {}, {}
            for key, val in params.items():
                self.m[key] = np.zeros_like(val)
                self.v[key] = np.zeros_like(val)
 
        self.iter += 1
        lr_t = self.lr * np.sqrt(1.0 - self.beta2 ** self.iter) / (1.0 - self.beta1 ** self.iter)
 
        for key in params.keys():
            self.m[key] += (1 - self.beta1) * (grads[key] - self.m[key])
            self.v[key] += (1 - self.beta2) * (grads[key] ** 2 - self.v[key])
 
            params[key] -= lr_t * self.m[key] / (np.sqrt(self.v[key]) + 1e-7)
 
 
def f(x, y):
    return x ** 2 / 20.0 + y ** 2
 
 
def df(x, y):
    return x / 10.0, 2.0 * y
 
 
init_pos = (-7.0, 2.0)
params = {}
params['x'], params['y'] = init_pos[0], init_pos[1]
grads = {}
grads['x'], grads['y'] = 0, 0
 
optimizers = OrderedDict()
optimizers["SGD"] = SGD(lr=0.95)
optimizers["Momentum"] = Momentum(lr=0.1)
optimizers["AdaGrad"] = AdaGrad(lr=1.5)
optimizers["Adam"] = Adam(lr=0.3)
 
idx = 1
 
for key in optimizers:
    optimizer = optimizers[key]
    x_history = []
    y_history = []
    params['x'], params['y'] = init_pos[0], init_pos[1]
 
    for i in range(30):
        x_history.append(params['x'])
        y_history.append(params['y'])
 
        grads['x'], grads['y'] = df(params['x'], params['y'])
        optimizer.update(params, grads)
 
    x = np.arange(-10, 10, 0.01)
    y = np.arange(-5, 5, 0.01)
 
    X, Y = np.meshgrid(x, y)
    Z = f(X, Y)
    # for simple contour line
    mask = Z > 7
    Z[mask] = 0
 
    # plot
    plt.subplot(2, 2, idx)
    idx += 1
    plt.plot(x_history, y_history, 'o-', color="red")
    plt.contour(X, Y, Z)  # 绘制等高线
    plt.ylim(-10, 10)
    plt.xlim(-10, 10)
    plt.plot(0, 0, '+')
    plt.title(key)
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("y")
 
plt.subplots_adjust(wspace=0, hspace=0)  # 调整子图间距
plt.show()

可视化：

4. 分析上图，说明原理

（1）为什么SGD会走“之字形”？其它算法为什么会比较平滑？

SGD（Stochastic Gradient Descent，随机梯度下降）有缺陷，呈现之字形，是因为图像的变化并不均匀，所以y方向变化很大时，x方向变化很小，只能迂回往复地寻找，效率很低。也就是说，SGD 的缺点是，如果函数的形状非均向（anisotropic），比如呈延伸状，搜索的路径就会非常低效。因此，我们需要比单纯朝梯度方向前进的 SGD 更聪明的方法。

SGD 低效的根本原因是，梯度的方向并没有指向最小值的方向。为了改正SGD的缺点，引入了Momentum、AdaGrad、Adam这 3 种方法来取代SGD。

（2）Momentum、AdaGrad对SGD的改进体现在哪里？速度？方向？在图上有哪些体现？

最简单的 BGD 以整个训练集的梯度和作为更新方向，缺点是速度慢，一个 epoch 只能更新一次模型参数。

SGD 就是用来解决这个问题的，以每个样本的梯度作为更新方向，更新次数更频繁。但有两个缺点：

• 更新方向不稳定、波动很大。因为单个样本有很大的随机性，单样本的梯度不能指示参数优化的大方向。
• 所有参数的学习率相同，这并不合理，因为有些参数不需要频繁变化，而有些参数则需要频繁学习改进。

Momentum 算法做出的改进主要是用来解决第一个问题。Momentum 算法则设置了动量（momentum）的概念，可以理解为惯性，使当前梯度小幅影响优化方向，而不是完全决定优化方向。也起到了减小波动的效果。体现在图上就是图像变得平滑。

AdaGrad 算法做出的改进用来解决第二个问题，其记录了每个参数的历史梯度平方和（平方是 element-wise 的），并以此表征每个参数变化的剧烈程度，继而自适应地为变化剧烈的参数选择更小的学习率。体现在图上就是图像变得平滑。

（3）仅从轨迹来看，Adam似乎不如AdaGrad效果好，是这样么？

从轨迹来看是这样。原因：
一：可能不收敛

SGD没有用到二阶动量，因此学习率是恒定的(实际使用过程中会采用学习率衰减策略，因此学习率递减)。AdaGrad的二阶动量不断累积，单调递增，因此学习率是单调递减的。因此，这两类算法会使得学习率不断递减，最终收敛到0，模型也得以收敛。

但AdaDelta和Adam则不然。二阶动量是固定时间窗口内的累积，随着时间窗口的变化，遇到的数据可能发生巨变，使得可能会时大时小，不是单调变化。这就可能在训练后期引起学习率的震荡，导致模型无法收敛。

二：可能错过全局最优解

深度神经网络往往包含大量的参数，在这样一个维度极高的空间内，非凸的目标函数往往起起伏伏，拥有无数个高地和洼地。有的是高峰，通过引入动量可能很容易越过；但有些是高原，可能探索很多次都出不来，于是停止了训练。

近期Arxiv上的两篇文章谈到这个问题。

第一篇就是前文提到的吐槽Adam最狠的 The Marginal Value of Adaptive Gradient Methods in Machine Learning 。文中说到，同样的一个优化问题，不同的优化算法可能会找到不同的答案，但自适应学习率的算法往往找到非常差的答案。他们通过一个特定的数据例子说明，自适应学习率算法可能会对前期出现的特征过拟合，后期才出现的特征很难纠正前期的拟合效果。

另外一篇是 Improving Generalization Performance by Switching from Adam to SGD，进行了实验验证。他们CIFAR-10数据集上进行测试，Adam的收敛速度比SGD要快，但最终收敛的结果并没有SGD好。他们进一步实验发现，主要是后期Adam的学习率太低，影响了有效的收敛。他们试着对Adam的学习率的下界进行控制，发现效果好了很多。

5. 总结SGD、Momentum、AdaGrad、Adam的优缺点

SGD

优点：

•     由于不是在全部训练数据上的损失函数，而是在每轮迭代中，随机优化某一条训练数据上的损失函数，这样每一轮参数的更新速度大大加快。

缺点：

•     准确度下降。由于即使在目标函数为强凸函数的情况下，SGD仍旧无法做到线性收敛。
•     可能会收敛到局部最优，由于单个样本并不能代表全体样本的趋势.
•     不易于并行实现。

Momentum----------为SGD进行了提速（对梯度进行调整）

优点：对方向一致的参数能够加速学习，对梯度改变方向的参数能够减少其更新，因此就是momentum能够在相关方向上加速学习，抑制振荡，从而加速收敛。

缺点：比较难学习一个较好的学习率。

AdaGrad--------对学习率进行了约束

adagrad就是把每一个参数的每一次迭代的梯度取平方累加后再开方，用全局学习率除以这个数，作为学习率的动态更新。

优点：不需要对每个学习率手工地调节，学习率可以自适应的减小。

缺点：

1.从训练开始就积累梯度方差会导致有效学习率过早和过量的减小。

2.只能解决凸问题，当应用于非凸函数训练神经网络时，学习可能会到达一个局部是凸碗的区域。

3.仍依赖于人工设置一个全局学习率，学习率设置过大，对梯度的调节太大。中后期，梯度接近于0，使得训练提前结束。
Adam

简单来讲 Adam 算法就是综合了 Momentum 和 RMSProp 的一种算法，其既记录了历史梯度均值作为动量，又考虑了历史梯度平方和实现各个参数的学习率自适应调整，解决了 SGD 的上述两个问题。

优点：对内存需求较小，为不同的参数计算不同的自适应学习率

缺点：

1、可能不收敛

2、可能错过全局最优解

6. Adam这么好，SGD是不是就用不到了？

并不是。

• 主流的观点认为：Adam等自适应学习率算法对于稀疏数据具有优势，且收敛速度很快；但精调参数的SGD（+Momentum）往往能够取得更好的最终结果。

在模型设计实验过程中，要快速验证新模型的效果，可以先用Adam进行快速实验优化；在模型上线或者结果发布前，可以用精调的SGD进行模型的极致优化。

先用Adam进行快速下降，而后再换到SGD进行充分的调优。

制定一个合适的学习率衰减策略。可以使用定期衰减策略，比如每过多少个epoch就衰减一次；或者利用精度或者AUC等性能指标来监控，当测试集上的指标不变或者下跌时，就降低学习率。

总结

这次写作业的过程中看了很多好文章，对课上老师的内容有了更深的印象，对SGD、Momentum、AdaGrad、Adam这些优化算法有了更深的理解。总之，收获很多。

参考：

深度学习入门之SGD随机梯度下降法_赵孝正的博客-CSDN博客_sgd 随机梯度下降

机器学习中几种优化算法的比较（SGD、Momentum、RMSProp、Adam） - Glowming - 博客园

深度学习中的优化算法 |SGD|momentum|NAG|AdaGrad|RMSprop|AdaDelta|Adam - 知乎

adam算法效果差原因_深度学习优化器-Adam两宗罪_weixin_39536728的博客-CSDN博客

梯度下降：BGD、SGD、mini-batch GD介绍及其优缺点_Activewaste的博客-CSDN博客_bgd梯度下降

优化算法选择：SGD、SGDM、NAG、Adam、AdaGrad、RMSProp、Nadam_UtopXExistential的博客-CSDN博客_sgdm算法