离散数学 第四章 二元关系

目录

4.1 二元关系及其表示

4.2 关系的性质

4.3 关系的运算

4.3.1 关系的交、并、补、差集

4.3.2 关系的复合运算

4.3.3 关系的幂

 4.3.4 关系的逆运算

4.3.5 关系运算的性质

4.4 二元关系的闭包

4.4.1 闭包运算的性质

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掌握关系的定义（集合中元素之间的关系）

掌握关系的表示

掌握关系的性质

4.1 二元关系及其表示

1）当元素x关于元素y具有指定的关系R时—>xRy（笛卡尔序偶（x,y））

2）当元素x关于元素y不具有指定的关系R时—>xy

※R是A×B的一个合于R={（x,y）A×B}的子集合

                xRy<=>(x,y)R

定义：A×B的子集和A×B自身是A到B的两个二元关系，分别称为空关系和全关系。

※关系图法（有向图表示法）

关系矩阵表示法：（布尔矩阵/邻接矩阵）

 注意：在写关系矩阵时，首先应对集合A和B中的元素进行排序！

4.2 关系的性质

1.自反性与反自反性

2.对称性与反对称性（不是绝对对立的）

3.传递性

4.3 关系的运算

4.3.1 关系的交、并、补、差集

eg.{（x,y）|(xRy)(xSy）}       异或

4.3.2 关系的复合运算

定义：R1 ◦ R2={(x,z)|(xA)(zC)((yB)(xRy)(ySz))}

              R:A—>B，S:B—>C，R1 ◦ R2是从A到C的关系

4.3.3 关系的幂

1.{}

2.

3.◦ R=R◦

!!◦ =，=

 4.3.4 关系的逆运算

定义：={(b,a)|(a,b)R}

※和是完全不同的两种关系

4.3.5 关系运算的性质

 1）（R◦S）◦T=R◦(S◦T)

 2）（R◦=◦

定理1：eg. R◦=（R◦S）（R◦T）

定理2：①          ②

4.4 二元关系的闭包

闭包即为满足条件的最小二元关系。

1）自反闭包——>r(R)

2）对称闭包——>s(R)

3）传递闭包——>t(R)

 

 重点：Warshall算法——>求传递闭包

步骤1：每一列中元素从上到下扫描

步骤2：若当前扫描的是第i列，那么当遇到1时，将所对应的行加上第i行

4.4.1 闭包运算的性质

※若R是传递的，则r(R)也是传递的

1）rs(R)=SR(R)

2）rt(R)=tr(R)

3）st(R)≤ts(R)