第十四届蓝桥杯（第二期）模拟赛试题与题解 C++

试题A

【问题描述】

请找到一个大于 2022 的最小数，这个数转换成二进制之后，最低的 6 个二进制为全为 0 。
请将这个数的十进制形式作为答案提交。
　　
【答案提交】

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

题解：位运算

也可以直接计算

二进制后六位为 0，则该数字是 64 的倍数

第一个比 2023 大的 64 的倍数为 64 * 32 = 2048

// 答案 2048
#include 
using namespace std;

bool check(int x) {
    return (x & 63) == 0;
}

int main() {
    int x = 2023;
    while (!check(x)) {
    	x ++;
    }
    cout << x << endl;
    return 0;
}

试题B

【问题描述】

我们计从 1949 年 10 月 1 日至 1949 年 10 月 2 日为经过了 1 天。
请问从 1949 年 10 月 1 日至 2022 年 1 月 1 日经过了多少天？

【答案提交】

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

题解：闰年判断

// 答案：26390
#include 
using namespace std;

bool check(int year) {
    return (year % 4 == 0 && year % 100 != 0) || (year % 400 == 0);
}

int main() {
    int ans = 0;
    for (int i = 1950; i < 2022; i ++) {
        ans += 365 + check(i);
    }
    ans += 31 + 30 + 31;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

试题C

【问题描述】

8518 是一个非常特殊的数，如果把这个数看成 16 进制数，它的值为 (8518)16 = 8 * 16 * 16 * 16 + 5 * 16 * 16 + 1 * 16 + 8 = 34072，而 34072 正好是 8518 的整数倍。

9558 也是这样一个数，当看成 16 进制时是 38232。

其实长度为 1 的数 0 到 9 都满足看成 16 进制后是自己的整数倍（1倍）。

请问，除开长度为 1 的数，最小的满足这样条件的数是多少？

【答案提交】

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

题解：枚举判断

// 答案：1038
#include 
using namespace std;

bool check(int x) {
    int tmp = x;
    int sum = 0, bac = 1;
    while (tmp) {
        sum += (tmp % 10) * bac;
        bac *= 16;
        tmp /= 10;
    }
    return sum % x == 0;
}

int main() {
    int x = 10;
    while (!check(x)) {
        x ++;
    }
    cout << x << endl;
    return 0;
}

试题D

【问题描述】

小蓝有一个 30 行 60 列的数字矩阵，矩阵中的每个数都是 0 到 9 之间的数字。

174094882455171152761423221685761892795431233411387427793198
650286024865090061389344606618496378829135984076361542097372
601657541200146071777733599818266038012509478351201640618984
143988087783837107349651099683484992553337438088068198972282
890781586124258626539246182119762952003918195325258677229419
698255491250839396799769357665825441616335532825361862146291
503649293440596342887581257444442930778730382520372975343211
325351222640703400531067500454956482168314849207060705673849
265774579830223671554026061117300483012903885770893074783710
083450145620356667677191627276513995926532444279237315785832
411595106453089134746365281031552217482363035280722591085079
053410485925413958279617719034175332412908745680774313630190
429314820559328748143552689295945058801322270313370955837837
939182801848609300876356583948397645861551964542532682663945
625356614462682551015176002433628234343684739800880514363921
982340231989891351425389287014819359798014755509282450440511
590838726938103384801541373585690893606978941566666714061214
952341523168827712604946036245881214982452998386986623826275
782780208928205527678781609589000725521486468983551558405472
149903035076783644195574734088152324666290493119955560594634
905391288186024902215444250421277955403412298227858394469856
607272647132163832860126054679347881638761723785858733108109
249157334220127702410373959720286708183036202841837581704881
367895556630088230650972282944827258473951902831431040790814
079538232104075905120989173307660289899942087873076421916033
622143260549608274076012938515668898707915863945382394851328
164677964192631597026176253407553188801750590935427267220117
591817866992665840378311257621611574856498432538327068011953
631534031790352912617015229051836886166704989498756486878095
690013558017746707412183571476823027885971347137127534455141

现在小蓝想从这个矩阵的第一行第一列画一条折线到第 30 行 60 列，线只能沿水平向右走或竖直向下走，只能在有数字的地方拐弯。小蓝想知道，这样一条线经过的数字的和最大是多少。

【答案提交】

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

题解：动态规划

// 答案：592
#include 
using namespace std;

const int m = 30, n = 60;

char mat[m + 1][n + 2]; // mat: matrix
int dp[m + 1][n + 1];

int main() {
    for (int i = 1; i <= m; i ++) {
        cin >> (mat[i] + 1);
    }
    for (int i = 1; i <= m; i ++) {
        for (int j = 1; j <= n; j ++) {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + mat[i][j] - '0';
        }
    }
    cout << dp[m][n] << endl;
    return 0;
}

问题E

【问题描述】

将 2022 拆分成不同的质数的和，请问最多拆分成几个？

【答案提交】

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

题解：记忆化搜索

// 答案：33
#include 
using namespace std;

vector<int> primes;
int mp[2023][2023];

bool is_prime(int x) {
    for (int i = 2; i * i <= x; i ++) {
        if (x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

// cur: current, idx: index
int dfs(int cur, int idx) {
    if (cur == 0) return 0;
    if (cur < primes[idx]) return -1;
    if (mp[cur][idx] != 0) return mp[cur][idx];
    int mx = -0x3f3f3f3f;
    for (int i = idx; i < primes.size() && cur >= primes[i]; i ++) {
        mx = max(mx, 1 + dfs(cur - primes[i], i + 1));
    }
    return mp[cur][idx] = mx;
}

int main() {
    for (int i = 2; i <= 2022; i ++) {
        if (is_prime(i)) primes.push_back(i);
    }
    
    // cout << primes.size() << endl;
    cout << dfs(2022, 0) << endl;

    return 0;
}

下面的记忆化搜索有 3 个参数，效率不如上面的，但能比较方便的将路径记录下来，并输出

#include 
using namespace std;

vector<int> primes;
bool mp[2023][400][50];
int ans = 0;
vector<int> stk;

bool is_prime(int x) {
    for (int i = 2; i * i <= x; i ++) {
        if (x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

void dfs(int cur, int idx, int cnt) {
    if (cur == 2022)  {
        ans = max(ans, cnt);
        if (cnt == 33) {
            for (int x : stk) cout << x << "+";
            cout << "\n";
        }
    }
    if (cur + primes[idx] > 2022) return;
    if (mp[cur][idx][cnt]) return;
    for (int i = idx; i < primes.size() && cur + primes[idx] <= 2022; i ++) {
        stk.push_back(primes[i]);
        dfs(cur + primes[i], i + 1, cnt + 1);
        stk.pop_back();
    }
    mp[cur][idx][cnt] = true;
}

int main() {
    for (int i = 2; i <= 2022; i ++) {
        if (is_prime(i)) primes.push_back(i);
    }

//    cout << primes.size() << endl;
    dfs(0, 0, 0);
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

输出路径如下：

2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37+41+43+47+53+59+61+67+71+73+79+83+89+97+101+103+107+109+113+127+139+163+

试题F

【问题描述】

小蓝正在拷贝一份文件，他现在已经拷贝了 t 秒时间，已经拷贝了 c 字节，文件总共有 s 字节，如果拷贝是匀速进行的，请问小蓝大概还需要拷贝多少秒？

【输入格式】

输入一行包含三个整数 t, c, s，相邻两个整数之间用一个空格分隔。

【输出格式】

输出一个整数，表示答案。数据保证答案正好是整数。

【样例输入】

3 10 20

【样例输出】

3

【样例输入】

30 14 21

【样例输出】

15

【评测用例规模与约定】
　　对于 50% 的评测用例，1 <= t, c, s <= 10000。

题解：计算

先乘再除避免除不尽

#include 
using namespace std;

int main() {
    int t, c, s;
    cin >> t >> c >> s;
    cout << s * t / c - t<< endl;
    return 0;
}

试题G

【问题描述】

小蓝有 n 个单词，但是单词中有一些是重复的，请帮小蓝去除重复的单词。
　　
【输入格式】

输入第一行包含一个正整数 n ，表示小蓝的单词数量。
接下来 n 行，每行包含一个由小写字母组成的单词。

【输出格式】

请输出去除重复后的那些单词。如果一个单词出现了多遍，请保留第一次出现的单词，去除之后出现的单词，按输入的顺序输出。

【样例输入】

5
lanqiao
hi
hello
hello
lanqiao

【样例输出】

lanqiao
hi
hello

【评测用例规模与约定】

对于所有评测用例，1 <= n <= 100，每个单词的长度不超过 100。

题解：哈希集合

#include 
using namespace std;

int n;
set<string> st;
string str;

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        cin >> str;
        if (st.count(str)) continue;
        st.insert(str);
        cout << str << endl;
    }
    return 0;
}

试题H

【问题描述】

一个字符串如果从左向右读和从右向左读相同，则称为一个回文串，例如 lanqiaoaiqnal 是一个回文串。

小蓝有一个字符串，请将这个字符串右边加上一些字符，使其成为一个回文串。

如果有多种方案，请输出最短的回文串。

【输入格式】

输入一行包含一个字符串，由小写英文字母组成。

【输出格式】

输出一行包含答案。

【样例输入】

lanqiao

【样例输出】

lanqiaoaiqnal

【样例输入】

banana

【样例输出】

bananab

【样例输入】

noon

【样例输出】

noon

【评测用例规模与约定】

对于所有评测用例，1 <= 字符串长度 <= 100。

题解：后缀回文

找出最长的后缀回文子串，再将前面的部分翻转后拼接

#include 
using namespace std;

string str;

bool check(int i, int j) {
    while (i < j) {
        if (str[i] != str[j])
            return false;
        i ++;
        j --;
    }
    return true;
}

int main() {
    cin >> str;
    int n = str.length();
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        if (check(i, n - 1)) {
            string s = str.substr(0, i);
            reverse(s.begin(), s.end());
            cout << str << s << endl;
            return 0;
        }
    }
    return 0;
}

试题I

【问题描述】

给定一个字母矩阵。一个 X 图形由中心点和由中心点向四个45度斜线方向引出的直线段组成，四条线段的长度相同，而且四条线段上的字母和中心点的字母相同。

一个 X图形可以使用三个整数 r, c, L 来描述，其中 r, c 表示中心点位于第 r 行第 c 列，正整数 L 表示引出的直线段的长度。 对于 1 到 L 之间的每个整数 i，X图形满足：第 r-i 行第 c-i 列与第 r 行第 c 列相同，第 r-i 行第 c+i 列与第 r 行第 c 列相同，第 r+i 行第 c-i 列与第 r 行第 c 列相同，第 r+i 行第 c+i 列与第 r 行第 c 列相同。

例如，对于下面的字母矩阵中，所有的字母 L 组成一个 X图形，其中中间的 5 个 L 也组成一个 X图形。所有字母 Q 组成了一个 X图形。

LAAALA
ALQLQA
AALQAA
ALQLQA
LAAALA

给定一个字母矩阵，请求其中有多少个 X图形。

【输入格式】

输入第一行包含两个整数 n, m，分别表示字母矩阵的行数和列数。
接下来 n 行，每行 m 个大写字母，为给定的矩阵。

【输出格式】

输出一行，包含一个整数，表示答案。

【样例输入】

5 6
LAAALA
ALQLQA
AALQAA
ALQLQA
LAAALA

【样例输出】

3

【评测用例规模与约定】

对于 50% 的评测用例，1 <= n, m <= 10。
对于所有评测用例，1 <= n, m <= 100。

题解：枚举

#include 
using namespace std;

const int M = 105, N = 105;

int m, n;
char mat[M][N];
int ans = 0;

bool valid(int i, int j) {
    return i >= 0 && i < m && j >= 0 && j < n;
}

void check(int r, int c) {
    char ch = mat[r][c];
    for (int i = 1; ; i ++) {
        if (!(valid(r - i, c - i) && mat[r - i][c - i] == ch)) return;
        if (!(valid(r - i, c + i) && mat[r - i][c + i] == ch)) return;
        if (!(valid(r + i, c - i) && mat[r + i][c - i] == ch)) return;
        if (!(valid(r + i, c + i) && mat[r + i][c + i] == ch)) return;
        ans ++;
    }
}

int main() {
    cin >> m >> n;
    for (int i = 0; i < m; i ++) {
        cin >> mat[i];
    }
    for (int i = 0; i < m; i ++) {
        for (int j = 0; j < n; j ++) {
            check(i, j);
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

试题J

【问题描述】

小蓝有一个序列 a[1], a[2], …, a[n]，每次可以交换相邻的两个元素，代价为两个元素中较大的那个。

请问，要通过交换将序列变为从小到大递增的序列，总代价最少为多少？

【输入格式】

输入一行包含一个整数 n ，表示序列长度。
第二行包含 n 个整数，表示给定的序列。

【输出格式】

输出一行包含一个整数，表示最少代价的值。

【样例输入】

4
1 5 2 1

【样例输出】

12

【评测用例规模与约定】

对于 30% 的评测用例，1 <= n <= 1000, 1 <= a[i] <= 1000。
对于 60% 的评测用例，1 <= n <= 50000, 1 <= a[i] <= 50000。
对于所有评测用例，1 <= n <= 1000000, 1 <= a[i] <= 1000000。

题解：贪心+线段树

贪心的规则还是比较容易看出来的

每次找最小的数移动到最左边，代价为左边所有元素的和

但是，这样不便于处理问题，逆向思维一下变成：

每次找最大的数移动到最右边，代价为该数值乘以右边元素个数

同时，每次被移动到最右边的数被视为已删除

要查询右侧有效元素的个数，需要一个东西来实现：动态修改某个节点的值并能快速查询某个区间的和

可以用线段树或者树状数组，我使用的是线段树来实现

初始树上每个节点的值都为 1，每次选中最大（且下标较大）的数字，查询右侧有效元素个数计算答案，然后更新树上对应节点的值为 0

单点修改区间查询的需求，用树状数组更合适，代码也更简洁，而线段树则功能更强大些，两者都可以了解一下：

• 线段树：https://oi-wiki.org/ds/seg/
• 树状数组：https://oi-wiki.org/ds/fenwick/

（该思路非最优解，有心的小伙伴可以考虑优化）

#include 
using namespace std;

typedef pair<int, int> pii;
const int N = 1E6 + 5;

int n, tmp;
pii a[N];
int nodes[N << 2];
long long ans = 0;

void push_up(int idx) {
    nodes[idx] = nodes[idx << 1] + nodes[idx << 1 | 1];
}
// 建树，初始化全为 1
void build(int idx, int l, int r) {
    if (l == r) {
        nodes[idx] = 1;
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(idx << 1, l, mid);
    build(idx << 1 | 1, mid + 1, r);
    push_up(idx);
}
// 查询 L 到 R 区间内的和
int query(int idx, int l, int r, int L, int R) {
    if (L <= l && r <= R) {
        return nodes[idx];
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    int res = 0;
    if (L <= mid)
        res += query(idx << 1, l, mid, L, R);
    if (mid + 1 <= R)
        res += query(idx << 1 | 1, mid + 1, r, L, R);
    return res;
}
// 更新 pos 节点的值（单点修改，使其加上 add 的值）
void update(int idx, int l, int r, int pos, int add) {
    if (l == r) {
        nodes[idx] += add;
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (mid >= pos)
        update(idx << 1, l, mid, pos, add);
    if (mid + 1 <= pos)
        update(idx << 1 | 1, mid + 1, r, pos, add);
    push_up(idx);
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        cin >> tmp;
        a[i] = pii(tmp, i);	// pair 存放整数与下标，用于排序
    }
    build(1, 0, n - 1);	// 初始化树
    sort(a, a + n);		//排序（元素大小优先，其次下标）
	// 倒序遍历
    for (int i = n - 1; i >= 0; i --) {
        int idx = a[i].second;
        // 右侧有效元素个数
        int cnt = (idx == n - 1) ? 0 : query(1, 0, n - 1, idx + 1, n - 1);
        ans += (long long) a[i].first * cnt;
        // 使树上该节点值 -1
        update(1, 0, n - 1, idx, -1);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

总结

可以看出来这期模拟赛已经开始摸算法的套路了，像第四题是动态规划的入门模板题，第五题是记忆化搜索的模板

而最后一题居然用到了高级的数据结构，对于模拟赛来说真的夭寿，好在还只是单点修改，但还要搭配上贪心，着实不能说是简单

这也提醒了还没怎么接触算法套路的小伙伴，要开始动点真格了，不能只停留在语法逻辑上

其它的题大多还是枚举计算之类的，不过也比较有蓝桥杯的风格，熟悉一下蓝桥的风格对正式比赛也有好处

当然，如果题解中有错误或纰漏，还请私信或在评论区指出，感激不尽！