工业机器人——4 正运动学（台大机器人学学习笔记）

前面几篇文章，我们对于如何描述刚体的运动状态进行了具体的讲解，今天开始我们学习机械手臂的正向运动学。
1）定义
运动学（kinematics）：讨论运动状态的本身，不涉及产生运动的力。
具体描述就是位置，速度，加速度和时间之间的关系；对应到到移动和转动，就是位置/姿态，速度/角速度，加速度/角加速度。

动力学：讨论力/力矩如何产生运动，什么样的力会产生什么样的运动。
一般采用三个方法处理这个问题；
牛顿第二运动定理：f=ma
能量守恒work&energy
动量守恒Impulse&momentum ：Ft=mΔv（物体动量的增量等于它所受合外力的冲量）

机械手臂：一连串的连杆（link）相互连接，具有复杂的几何外形。连杆之间可以相互移动（prismatic）和转动（revolute）由驱动器（马达等，在生物上面就是肌肉驱动）驱动来完成。

对于机械臂，我们需要的是掌握手臂末端的状态（位置，速度，姿态…），因此需要驱动各个驱动器控制角度来达成我们的目标。
正运动学就是已知机械臂各个连杆的相对角度，我们找出机械臂的末端状态

那么如何来描述呢？
我们应该找出各个连杆的相对几何状态，然后在各个连杆上面建立坐标系，以frame状态来代表连杆的状态，从而得到机械臂末端的状态描述。

2）D-H参数建模——机械臂几何描述
joint（关节）：每个revolute或prismatic的joint具有一个自由度，每个joint上面对应一个特定的axis（转轴）进行rotation或translation
link（连杆）：连接joints的杆件，为刚体（rigid body）
link 0：地杆，不动的连杆
link 1：与link 0相连，第一个可动的杆件
link 2：第二个可动的杆件
…

真实情况不会像上图各个转轴在同一个平面，互相平行。
公垂线：对于空间中任意两个转轴（axis），都能找到一条直线与他们垂直（唯一解），称这个直线为公垂线。
Link length：两个转轴之间公垂线的长度，我们定义为他们之间连杆的长度。
link twist：对于两个转轴之间的夹角如图进行定义
因此，对于空间中任意两个转轴我们需要两个参数去描述。

但对于多个串联的连杆，我们要将他们进行描述时，还需要另外两个参数来描述两个相邻公垂线之间的相对几何关系。

由上图可知，连杆绕转轴进行旋转时，只有两个公垂线之间的角度会变化，其他三个参数保持不变；同理，转轴在进行移动时，只有公垂线之间的距离这个参数会发生变化，其他三个参数保持不变。

对于一连串的连杆，定义两两连杆的相对关系，我们需要四个参数，于是机械臂的整个相对几何我们就能进行描述了。
在已知了连杆间的四个描述参数后，我们如何在连杆上面建立坐标系frame？这样我们就能知道所有杆件在空间中的运动状态。

3) D-H参数建模——D-H frame建立方式：
以转轴的方向为z方向，两个相邻转轴公垂线的方向为x方向，由右手准则可以得到y方向，从而建立了一个空间直角坐标系。在这里，两个如果转轴相交在一起，我们取x方向为垂直两个转轴的方向。

对于首端和末端的坐标系如何选取：
对于link 0，我们可以将坐标建立在link 1上面还没有转动的时候，对于末端连杆，建立在上一个连杆即可。

4）D-H参数建模——变换矩阵
前面我们对于各个连杆参数的定义，都是是基于D-H建模
我们用四个参数定义了连杆之间的空间运动状态，建立了D-H坐标系
我们还需要找到相邻连杆具体的关系式是什么（变换矩阵）
如何去量化连杆上相邻两个坐标系之间的转换呢？

总结：
上面写的有点乱七八糟，还有很多推导内容直接放的图片，在这里，我把本篇文章所要表达的要点再总结一下。通过前面几篇文章，我们知道了如何对刚体的运动状态进行描述：在刚体上面建立坐标系，通过坐标系原点和三个主轴来描述刚体的移动和转动，具体一点就是利用向量和坐标系间的旋转矩阵。
在这里，我们把刚体具体定义为机械臂，介绍了机械臂一个简化的模型，就是通过一连串相邻连杆的连接组成一个机械臂，我们需要先对相邻两连杆之间的相对运动关系进行描述，通过D-H表达法我们可以用四个参数来表达相邻杆件之间的相对状态，然后我们在各个连杆上面建立坐标系frame，那么相邻连杆具体的关系式是什么（变换矩阵）？这个和前面的euler angles一样通过一步步左乘，我们可以找到各个连杆直接的变换矩阵。这样，我们对于机械臂末端的状态就能够进行量化的描述了。

这样，通过已知各个关节的旋转角度我们能够得到机械臂末端的运动状态了——正运动学

举例：
1：我们先找出转轴joint axis；
2：找出相邻俩转轴的公垂线；
3：定义z轴-方向与转轴方向一样；定义x-延公垂线指向下一个转轴；由右手定则可知y方向；
4：定义首尾两端的frame
5：列出一个包含四个参数的表格

补充：对于上面的例子我们还可以用另外一种表达法来表示，与关节相连的连杆我们定义在后方。


在上图的定义法里面，我们知道旋转和移动的先后顺序发生了变化。