灰色预测模型

文章主要借鉴了B站数学建模BOOM ，侵权立删。

目录

GM（1，1）模型

题目

解决方案

整体流程

模型优缺点

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GM（1，1）模型

题目

特点：数据少，看不出明显规律，适合用灰色预测模型。 

解决方案

没有规律，就制造规律！

1、生成一个新的序列，使其看起来像一个指数曲线（直线）。

• 可用一个指数曲线及至二条直线的表达式来逼近这个新序列
• 构建一阶常微分方程来求解拟合曲线的函数表达式

2、设满足，若a和u已知则可以直接求解出结果。

• 预测下一年的值=解出微分方程=计算出a、u

3、要计算出a、u，使用最小二乘法，通过最小化误差的平方和寻找数据的最优匹配。

4、由于数据是离散的，所以要将写成。

• ，始终为1；
• 得到方程，即
• 式子左边是已知数据，右边是含有未知数的函数，可用最小二乘法求解

5、为了更合理，修正为均值生成序列

• 考虑到原方程有，因此将改为取前后两个时刻的均值更合理
•  均值生成：
• 即方程改为

6、最小二乘法求解

• 最小二乘法就是使得拟合函数所求值与已知数据的平方差最小
• 方程矩阵形式
• 
• 最小二乘法就是求取最小值时的U
• 求解U的估计值为

7、参数a和u求出，带入原微分方程，求出的解

• 
• 当式中的时所求的为拟合值，大于等于7为预测值
• 分别取和，得到和；则下一年的道路噪声平均声级

 8、模型检验

• 模型检验就是看按照求得的拟合值和实际值相差大不大
• 残差检验：；其中
• 如果残差，合理！
• 如果残差，灰色预测不适合本题。

9、级比检验

• 为了确定数据使用GM（1，1）模型的可行性，需要在最开始进行级比检验
• 计算。如果在区间内，说明模型可用GM（1，1）。
• 如果在区间外，可尝试进行平移变换，也就是给每个数据都加上一个任意常数C，看是否在区间内；求解后再减去C

整体流程

模型优缺点

优点:数据少且无明显规律时可用，利用微分方程挖掘数据本质规律

缺点:灰色预测只适合短期预测、指数增长的预测