张正友相机标定论文笔记

张正友相机标定论文笔记

精读张正友论文之后把主要步骤概括为：
Print a pattern 并把它attach 到一个平面上，通常这个pattern是个棋盘图
从不同角度对平面拍照，可以变换棋盘的位置，也可以变换棋盘的位置。
检测Image中的特征点
求解利用三维坐标和四组图像坐标，求解单应性矩阵，并根据矩阵分解理论求解外部参数与内部参数。
求解distort的系数
利用系数修正迭代模型，不断修改初始求出的内部参数和外部参数。

求单应性矩阵

目前正在实现求解单应性矩阵。因为求特征点是后边考虑的内容，因此简化模型，特征点是自己选取的角点，之后深入学习了特征提取方面的知识后，回来修改这里的程序。

张的模型是对拍摄的平面做恢复，修改上一节提出的坐标变换公式

pm=(KRT|−KRTC)(M1)

把上式写成更紧凑的格式

pm=K[R|t]M

写成具体的坐标形式为

p⎛⎝⎜uv1⎞⎠⎟=K[r1,r2,r3,t]⎛⎝⎜⎜⎜XYZ1⎞⎠⎟⎟⎟

对平面标定时，可以假定平面位于世界坐标系中的Z=0，从而问题简化为

p⎛⎝⎜uv1⎞⎠⎟=K[r1,r2,t]⎛⎝⎜XY1⎞⎠⎟

记 H=K[r1,r2,t] ,上式化简为

p⎛⎝⎜uv1⎞⎠⎟=H⎛⎝⎜XY1⎞⎠⎟

利用四个对应点可以求出H，已经通过编程实现求单应性矩阵(12月4日修改)。

解决相机标定问题

相机标定问题是为了求解相机的内外参数我们设内参数矩阵为 A ,令 B=A−TA
其中

由于B是hermitian的，所以需要求解B中上（下）对角的六个元素。利用H矩阵的定义：

把求B的六个元素化简成等价的线性方程组

其中：

找出图像与三维平面之间任意三个以上的对应点就可以求解出B的六个参数，如果只有两个对应点则需要假设内参矩阵A中的c为0。求解出H与A之后，利用以下公式可以找出外部参数中的旋转矩阵与平移向量：

再利用以下公式可以求出内部参数：

求解出的相机参数（外部+内部）只是初始值，仍有很大的误差，我们需要把distort考虑进去，然后使用求最优化的方法反复迭代求解出误差最小的参数。具体步骤如下：

考虑radial distortion为多项式模型，即与半径r有关，令 (u,v) 为像素在理想情况（没有误差）下的图像坐标，令 (u˘,v˘) 为实际的图像坐标，同样的 (x,y) 和 (x˘,y˘) 为标准化的坐标：利用两个坐标的变换公式

得到distortion模型

为了估计多项式中的两个参数

需要求解以上线性方程组，上式中的系数矩阵都是已知的，很容易得到两个参数

注意考虑到distortion之后要直接把原来坐标经过distortion变换即

最后就是求解一个非线性最优化模型

其中 是空间中的点M投影到图像上，同时考虑扭曲（也就是 DK[R|t]M ）使用LM算法可以求出最优解。

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Zhang Z. Flexible camera calibration by viewing a plane from unknown orientations[C]// IEEE International Conference on Computer Vision. IEEE, 1999:666.