基础SIR模型

基础SIR模型

SIR模型由是三个相互关联的非线性常微分方程组成的没有明确解析解的模型系统。SIR模型的动力学公式如等式(3.1)所示：

dSdt=-βISNdIdt=-βISN- γI dRdt= γI                      (等式3.1)

其中，S表示为易感人群（Susceptible Population），I表示并未进行隔离的已感染病毒人群（Infected Population），R表示感染后康复的人群（Recovered Population）。模型统计范围内的人群总数表示为N。参数β和参数γ分别表示为新型冠状病毒的传播速率系数和康复速率系数。

在模型统计的范围内，总的易感人群S是可以观测到的。新型冠状病毒传染病具有其特殊性，感染病毒的人群可分为感染者和无症状感染者，因此，感染者I是无法通过观测得到的。考虑到现实中的感染者会被进行有效隔离并且得到重点关注，本文提出的方法默认康复率R中表示的康复人群在康复后不会再次感染病毒。

虽然SIR模型是比较经典的传染病模型，但是由于SIR模型对人群的分类不够细致，没有明确考虑隔离的因素，而现实生活中对疑似病人的隔离是控制疫情传播的有效手段，从目前全球蔓延的疫情来看，疑似病人的隔离对疫情传播的控制很关键。同时SIR模型没有引入反馈机制，在预测过程中，单纯依靠已有数据预测未来较长一段时间的数据，必然会使准确率降低。此外，模型中的微分方程求解较为困难，影响模型的稳健性。

3.2参数更新方法

本文提出模型的参数更新方法如等式（3.2）所示：

Xt+1= Mt+1xt                   (等式3.2)

其中，Xt为状态向量，可以表示为Xt=St, It, Rt的形式Mt+1。为非线性模型中相对于时间t的算子。在SIR模型中，Mt是等式（3.1）表示的预测模型。

yto= Htxt                     （等式3.3）

等式3.3中，yto与观测值Robs和模型预测参数是被更新的对象。

损失函数如等式3.4所示，

Jx= x- xbQ-1+windowHx- yoP-1（等式3.4）

其中，H为非先行观测值算子H的线性化形式，其背景状态向量为xb。窗口（Window）的大小决定了要更新的观测值的数量，使用EnKF（Ensemble Kalman Filter）方法更新参数。

图（3.1）表现了包括三个常微分方程的SIR静态模型与使用贝叶斯更新的动态更新模型之间的差异。

图3.1标准SIR模型作为静态ODE表示与应用递归贝叶斯模型更新的动态（DA）SIR模型对比

Fig. 3.1Comparison of standard SIR model as static ODE representation with dynamic (DA) SIR model with recursive Bayesian model update

初始化观测值和参数的静态SIR模型可以预测出类似简单指数型的增长模式。在动态模型中，模型结合新的观测值更新参数，同时对预测结果输出进行了优化调整。