常见损失函数和评价指标总结

作者：董文辉

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本文为你总结常见损失函数和评价指标。

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## 1. 损失函数：

### 1.1 回归问题：

#### 1. 平方损失函数（最小二乘法）：

$$L(Y,f(x)) = \sum_{i=1}^n(Y-f(X))^2$$

回归问题中常用的损失函数，在线性回归中，可以通过极大似然估计（MLE）推导。计算的是预测值与真实值之间距离的平方和。实际更常用的是**均方误差（MSE）**：

$$L(Y,f(x)) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^n(Y-f(X))^2$$

#### 2 平均绝对值误差（L1）-- MAE：

$$L(Y,f(x)) = \sum_{i=1}^n|Y-f(X)|$$

MAE是目标值和预测值之差的**绝对值之和**，可以用来衡量预测值和真实值的距离。**但是它不能给出，模型的预测值是比真实值小还是大。**

#### 3 MAE（L1） VS MSE（L2）：

* **MSE计算简便，但MAE对异常点有更好的鲁棒性:**

当数据中存在异常点时，用RMSE计算损失的模型会以牺牲了其他样本的误差为代价，朝着减小异常点误差的方向更新。然而这就会降低模型的整体性能。

>直观上可以这样理解：如果我们最小化MSE来对所有的样本点只给出一个预测值，那么这个值一定是所有目标值的平均值。但如果是最小化MAE，那么这个值，则会是所有样本点目标值的中位数。众所周知，对异常值而言，中位数比均值更加鲁棒，因此MAE对于异常值也比MSE更稳定。

* **NN中MAE更新梯度始终相同，而MSE则不同**：

MSE损失的梯度随损失增大而增大，而损失趋于0时则会减小。

* **Loss选择建议：**

* **MSE：** 如果异常点代表在商业中很重要的异常情况，并且需要被检测出来。

* **MAE：** 如果只把异常值当作受损数据。

#### 4. Huber损失：

$$

L_{\delta}(y, f(x))=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{2}(y-f(x))^{2}} & {\text { for }|y-f(x)| \leq \delta} \\ {\delta|y-f(x)|-\frac{1}{2} \delta^{2}} & {\text { otherwise }}\end{array}\right.

$$

Huber损失是绝对误差，只是在误差很小时，就变为平方误差。当Huber损失在$[0-\delta,0+\delta]$之间时，等价为MSE，而在$[-∞,\delta]$和$[\delta,+∞]$时为MAE。

 

### 1.2 分类问题：

#### 1. LogLoss：

$$

J(\theta)=-\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left[y^{(i)} \log h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)+\left(1-y^{(i)}\right) \log \left(1-h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)\right)\right]

$$

**二分类**任务中常用的损失函数，在LR中，通过对似然函数取对数得到。也就是**交叉熵**损失函数。

#### 2. 指数损失函数：

$$L(y,f(x)) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^n{exp[-y_if(x_i)]}$$

在AdaBoost中用到的损失函数。

## 2.评价指标：

如何评估机器学习算法模型是任何项目中一个非常重要的环节。分类问题一般会选择准确率（Accuracy）或者AUC作为metric，回归问题使用MSE，但这些指标并不足以评判一个模型的好坏，接下来的内容我将尽可能包括各个评价指标。上述损失函数大部分可以直接作为评价指标来使用，上面出现过的简单介绍。

### 2.1 回归问题：

**1. MAE：

** 平均绝对误差（Mean Absolute Error），范围 $[0,+∞)$

$$

MAE=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left|\hat{y}_{i}-y_{i}\right|

$$

**2. MSE：

** 均方误差（Mean Square Error），范围 $[0,+∞)$

$$

MSE=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\hat{y}_{i}-y_{i}\right)^{2}

$$

**3. RMSE：

** 根均方误差（Root Mean Square Error），范围 $[0,+∞)$

$$

RMSE =\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\hat{y}_{i}-y_{i}\right)^{2}}

$$

取均方误差的平方根可以使得量纲一致，这对于描述和表示是有意义的。

**4. MAPE：

** 平均绝对百分比误差（Mean Absolute Percentage Error）

$$

MAPE=\frac{100 \%}{n} \sum_{i=1}^{n}\left|\frac{\hat{y}_{i}-y_{i}}{y_{i}}\right|

$$

**注意点**：当真实值有数据等于0时，存在分母0除问题，该公式不可用！

**5. SMAPE：

** 对称平均绝对百分比误差（Symmetric Mean Absolute Percentage Error）

$$

SMAPE=\frac{100 \%}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{\left|\hat{y}_{i}-y_{i}\right|}{\left(\left|\hat{y}_{i}\right|+\left|y_{i}\right|\right) / 2}

$$

**注意点：** 真实值、预测值均等于0时，存在分母为0，该公式不可用！

**6. R Squared:**

$$

R^{2}=1-\frac{\sum_{i}\left(\hat{y}^{(i)}-y^{(i)}\right)^{2}}{\sum_{i}\left(\bar{y}-y^{(i)}\right)^{2}}

$$

$R^2$即**决定系数（Coefficient of determination）**，被人们称为最好的衡量线性回归法的指标。

如果我们使用同一个算法模型，解决不同的问题，由于不同的数据集的量纲不同，MSE、RMSE等指标不能体现此模型针对不同问题所表现的优劣，也就无法判断模型更适合预测哪个问题。$R^2$得到的性能度量都在[0, 1]之间，可以判断此模型更适合预测哪个问题。

**公式的理解：**

1. 分母代表baseline（平均值）的误差，分子代表模型的预测结果产生的误差；

2. 预测结果越大越好，$R^2$为1说明完美拟合，$R^2$为0说明和baseline一致；

**7. 代码实现：**

```python

# coding=utf-8

import numpy as np

from sklearn import metrics

# MAPE和SMAPE需要自己实现

def mape(y_true, y_pred):

return np.mean(np.abs((y_pred - y_true) / y_true)) * 100

def smape(y_true, y_pred):

return 2.0 * np.mean(np.abs(y_pred - y_true) / (np.abs(y_pred) + np.abs(y_true))) * 100

y_true = np.array([1.0, 5.0, 4.0, 3.0, 2.0, 5.0, -3.0])

y_pred = np.array([1.0, 4.5, 3.5, 5.0, 8.0, 4.5, 1.0])

# MSE

print(metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred)) # 8.107142857142858

# RMSE

print(np.sqrt(metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred))) # 2.847304489713536

# MAE

print(metrics.mean_absolute_error(y_true, y_pred)) # 1.9285714285714286

# MAPE

print(mape(y_true, y_pred)) # 76.07142857142858

# SMAPE

print(smape(y_true, y_pred)) # 57.76942355889724

# R Squared

print(r2_score(y_true, y_pred))

```

### 2.2 分类问题：

#### 0. Confusion Matrix（混淆矩阵）：

混淆矩阵一般不直接作为模型的评价指标，但是他是后续多个指标的基础。以下为二分类的混淆矩阵，多分类的混淆矩阵和这个类似。

| |预测正例| 预测反例|

|--|--|--|

|真实正例|TP（真正例）| FN（假反例）|

|真实反例|FP（假正例）|TN（真反例）|

我们训练模型的目的是为了降低FP和FN。很难说什么时候降低FP，什么时候降低FN。基于我们不同的需求，来决定降低FP还是FN。

* **降低假负数例（FN）**：

假设在一个癌症检测问题中，每100个人中就有5个人患有癌症。在这种情况下，即使是一个非常差的模型也可以为我们提供95％的准确度。但是，为了捕获所有癌症病例，当一个人实际上没有患癌症时，我们可能最终将其归类为癌症。因为它比不识别为癌症患者的危险要小，因为我们可以进一步检查。但是，错过癌症患者将是一个巨大的错误，因为不会对其进行进一步检查。

* **降低假正例（FP）**：

假设在垃圾邮件分类任务中，垃圾邮件为正样本。如果我们收到一个正常的邮件，比如某个公司或学校的offer，模型却识别为垃圾邮件（FP），那将损失非常大。所以在这种任务中，需要尽可能降低假正例。

#### 1. Accuracy（准确率）：

$$

Acc=\frac{T P+T N}{T P+T N+F P+F N}

$$

准确率也就是在所有样本中，有多少样本被预测正确。

当样本类别均衡时，Accuracy是一个很好的指标。

但在样本不平衡的情况下，产生效果较差。假设我们的训练数据中只有2%的正样本，98%的负样本，那么如果模型全部预测为负样本，准确率便是98%,。分类的准确率指标很高，会给我们一种模型很好的假象。

#### 2. Precision（精准率）：

$$

P=\frac{T P}{T P+F P}

$$

**含义：** 预测为正例的样本中有多少实际为正；

#### 3. Recall（召回率）：

$$

R=\frac{T P}{T P+F N}

$$

**含义：** 实际为正例的样本有多少被预测为正；

#### 4. P-R曲线：

通过选择不同的阈值，得到Recall和Precision，以Recall为横坐标，Precision为纵坐标得到的曲线图。

 

 

**PR曲线性质：**

* 如果一个学习器的P-R曲线被另一个学习器的曲线完全包住，后者性能优于前者;

* 如果两个学习器的曲线相交，可以通过平衡点的来度量性能，它是“查准率=查全率”时的取值；

* **阈值为0时**：$TP=0 => Precision=0，Recall=0$ 所以PR 曲线经过 **(0,0)点**；

* **阈值上升**：

* **Recall**：不断增加，因为越来越多的样本被划分为正例；

* **Precision：** 震荡下降，不是严格递减；

* 如果有个划分点可以把正负样本完全区分开，那么P-R曲线面积是1*1；

#### 5. $F_{\beta }$（加权调和平均）和 $F_1$（调和平均）:

$$F_{\beta }=\frac{(1+\beta ^{2})*P*R}{(\beta ^{2}*P)+R}$$

* $\beta >1$：召回率（Recall）影响更大，eg.$F_2$

* $\beta <1$：精确率（Precision）影响更大，eg.$F_{0.5}$

$\beta$为1的时候得到$F_1$：

$$F_{1}=\frac{2*P*R}{P+R}$$

调和平均亦可推出：

$$\frac{1}{F_{1}}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{R}+\frac{1}{P})$$

#### 6. ROC-AUC：

**Area Under Curve(AUC)** 是**二分类**问题中使用非常广泛的一个评价指标。**AUC的本质是，任取一个正样本和负样本，模型输出正样本的值大于负样本值的概率**。构成AUC的两个基本指标是假正例率和真正例率。

* **横轴-假正例率：** 实际为负的样本多少被预测为正；

$$FPR=\frac{FP}{TN+FP}$$

* **纵轴-真正例率：** 实际为正的样本多少被预测为正；

$$TPR=\frac{TP}{TP+FN}$$

TPR和FPR的范围均是[0,1]，通过选择不同的阈值得到TPR和FPR，然后绘制ROC曲线。

 

**曲线性质：**

1. 阈值最大时，对应**坐标点为(0,0)**,阈值最小时，对应**坐标点(1,1)**；

2. ROC曲线越靠近左上角，该分类器的性能越好；

3. 对角线表示一个随机猜测分类器；

4. 若一个学习器的ROC曲线被另一个学习器的曲线完全包住，后者性能优于前者；

**AUC：** ROC曲线下的面积为AUC值。

#### 7. 代码实现：

```python

from sklearn.metrics import accuracy_score,precision_score,recall_score,f1_score,fbeta_score

y_test = [1,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0]

y_pred = [1,1,1,0,1,1,0,1,1,1,0]

print("准确率为:{0:%}".format(accuracy_score(y_test, y_pred)))

print("精确率为:{0:%}".format(precision_score(y_test, y_pred)))

print("召回率为:{0:%}".format(recall_score(y_test, y_pred)))

print("F1分数为:{0:%}".format(f1_score(y_test, y_pred)))

print("Fbeta为:{0:%}".format(fbeta_score(y_test, y_pred,beta =1.2)))

```

### 参考资料：

[1. 分类问题性能评价指标详述]

(https://blog.csdn.net/foneone/article/details/88920256)

[2.AUC，ROC我看到的最透彻的讲解]

(https://blog.csdn.net/u013385925/article/details/80385873)

[3.机器学习大牛最常用的5个回归损失函数，你知道几个？]

(https://www.jiqizhixin.com/articles/2018-06-21-3)

[4.机器学习-损失函数]

(https://www.csuldw.com/2016/03/26/2016-03-26-loss-function/)

[5.损失函数jupyter notebook]

(https://nbviewer.jupyter.org/github/groverpr/Machine-Learning/blob/master/notebooks/05_Loss_Functions.ipynb)

[6.L1 vs. L2 Loss function]

(http://rishy.github.io/ml/2015/07/28/l1-vs-l2-loss/)

[7. P-R曲线深入理解]

(https://blog.csdn.net/b876144622/article/details/80009867)

编辑：于腾凯

校对：林亦霖

作者简介

董文辉，电子科技大学硕士，主要研究方向：推荐系统、自然语言处理和金融风控。希望能将算法应用在更多的行业中。

—完—