find函数matlab_【重点】分数阶微积分和分数阶微分方程数值实验（6）——Mittag-Leffler函数...

参考文献

薛定宇《分数阶微积分学与分数阶控制》

数值实现

Matlab 2019a 主要基于薛定宇开发的FOTF工具箱

蜜酒厅通讯社 固体地球物理学部

封面及文中照片感谢 @CycleUser 友情提供

前情回顾

形式主义的居士：分数阶微积分和分数阶微分方程数值实验（5）——超几何函数​zhuanlan.zhihu.com

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Mittag-Leffler函数

一、单参数Mittag-Leffler函数

1.定义：

其中

，

为复数集合，且无穷级数的收敛条件为

。

2.Matlab实现

mittag_leffler.m

function

（1）用符号运算的方式推导几个Mittag-Leffler公式

1）调用函数

% 薛定宇《分数阶微积分学与分数阶控制》 p21 例2.14

窗口

E_1 =
 
exp(z)
 
 
E_2 =
 
cosh(z^(1/2))
 
 
E_1_2 =
 
2*symsum(z^k/(k*gamma(k/2)), k, 0, Inf)
 
 
E_1_3 =
 
3*symsum(z^k/(k*gamma(k/3)), k, 0, Inf)
 
 
E_3 =
 
hypergeom([], [1/3, 2/3], z/27)
 
 
E_4 =
 
hypergeom([], [1/4, 1/2, 3/4], z/256)
 
 
E_5 =
 
hypergeom([], [1/5, 2/5, 3/5, 4/5], z/3125)
 

2）累加计算

mittag_leffler_function.m

%   累加计算Mittag-Leffler函数的数值解

mlf.m

Mittag-Leffler function - File Exchange - MATLAB Central​ww2.mathworks.cn

试绘制出不同

参数的Mittag-Leffler函数

的曲线

% 薛定宇《分数阶微积分学与分数阶控制》 p22 例2.15

图像

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二、双参数Mittag-Leffler函数

1.定义：

其中，

，且无穷级数对

收敛的条件为

。

2.定理：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）双参数Mittag-Leffler函数的一些性质

3.Matlab实现

（1）一些特殊的单参数或双参数Mittag-Leffler函数可以直接由Matlab推导出来，试推导

和

。

% 薛定宇《分数阶微积分学与分数阶控制》 p24 例2.16

图像

E_1/2,4(z)函数的解析解与数值解

解析解和数值解完全一致。

（2）试绘制Mittag-Leffler函数

和

的曲线。

% 薛定宇《分数阶微积分学与分数阶控制》 p25 例2.17

图像

双参数Mittag-Leffler函数的曲线

（3）如果

为复数变量，试绘制函数

实部对应的表面图。

% 薛定宇《分数阶微积分学与分数阶控制》 p25 例2.18

图像

Mittag-Leffler函数E_{0.8,0.9}(z)实部的表面图

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三、多参数Mittag-Leffler函数

1.定义：

（1）一般情况下，3参数和4参数Mittag-Leffler函数可以分别定义为：

式中，

，对任意

，无穷级数的收敛条件为

，且

，

为整数集合，而

又称为Pochhammer符号。

（2）多参数Mittag-Leffler函数可以一般地定义为：

式中，

2.定理：

双参数Mittag-Leffler函数是3参数Mittag-Leffler函数的一个特例，而3参数函数又是4参数Mittag-Leffler函数的一个特例：

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四、Mittag-Leffler函数的导数

1.定理

（1）双参数Mittag-Leffler函数

的

阶导数可以表示为：

（2）下面的条件对双参数Mittag-Leffler函数成立：

（3）4参数Mittag-Leffler函数

的

阶导数满足下式：

（4）特别地，双参数Mittag-Leffler函数的

阶导数满足下式：

（5）Mittag-Leffler函数的导数有各种各样的性质，例如，对任意正整数

，下列方程成立：

2.数值运算

f 

局限性：

（1）这里采用的累加阶段算法的优点是速度快，但该方法有时会发散，这时程序会自动调用嵌入的mlf( )函数来计算，不过该方法有时速度很慢，另外由于其本身的局限性，只能求解单参数或双参数的Mittag-Leffler函数，且不能求解其导数；

（2）因为某些Mittag-Leffler的函数的导数不能由mittag_leffler_function( )函数求解，这时建议用数值微分的方法来求，可以使用后面介绍的高精度数值微分函数；

（3）由于mittag_leffler_function函数调用的gamma( )只能处理实数变元，所以若想处理复数变元时应该用gamma_complex( )取代。

3.Matlab数值实现

试绘制Mittag-Leffler函数

和

的曲线。

% 薛定宇《分数阶微积分学与分数阶控制》 p30 例2.19

图像

Mittag-Leffler函数曲线

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@CycleUser