matlab智能算法之萤火虫算法

1.起源

萤火虫群优化算法是2005年由 $Krishnanand$ 和 $Ghose$ 在研究改进蚁群算法求连续型最优化问题时提出的，并且成功将其用于机器人群体协作。算法的起源是来自萤火虫在夜晚发出光亮进行求偶，雄性萤火虫发光越亮，越能吸引雌性萤火虫。

2.萤火虫发光求偶

2.1 雌雄萤火虫

一般的雌萤火虫由于翅膀接近于退化，而且因为雌萤火虫要产卵，腹部体积会比雄萤火虫大，所以它们一般都只能趴在一个地方发出求偶的信号，等待别的雄萤火虫来和它交配；而雄虫为了有更大的发光亮度吸引雌萤火虫，且在黑夜中找到雌萤火虫，所以发光器有两排光，复眼也比较发达。如果雌萤火虫的回复得到了雄萤火虫的答复，那它们就会以同样的方式进行联系，直到两者在一起。雄萤火虫越亮，对雌萤火虫的吸引力越强。

2.2 求偶过程

一到繁殖季节的时候，雌雄萤火虫都能通过发光来寻找自己的配偶。在寻找配偶的时候，雌雄双方都会发出一闪一闪的亮光作为信号。具体为：在一定范围内，雄萤火虫在夜色里一边飞行，一边发出有节奏的闪光信号，然后趴在原地的雌萤火虫根据雄萤火虫发光亮度的强弱进行择偶，通常都是选择对发光亮度最强的，也就是看起来最亮的雄萤火虫做出发光回应。

3.原理

根据萤火虫的求偶方式，可以发现求偶的关键有：闪光强度、吸引力。而且标准萤火虫优化算法遵循三个理想化规则：
1、萤火虫不分雌雄，假设都为中性；
2、萤火虫的吸引力和自身的闪光强度成正比，所以闪光亮度弱的萤火虫，都会被更亮的萤火虫吸引；
3、萤火虫的闪光强度受到适应度函数景观的影响。

3.1 闪光强度

萤火虫的闪光强度与适应度函数是成正比的；每个萤火虫都可以看成是问题的一个解，则可以得到 $I(r)\propto f(x)$，其中 $f(x)$ 则为 $x$ 的目标函数，也就是这里的适应度， $I(r)$ 是间隔距离为 $r$ 的闪光强度，具体公式如下：$$I(r)=I_0{e}^{-\gamma r_{ij}^2}$$ 其中，$I_0$ 为光源处的亮度，$\gamma$ 为光强吸收系数，$r_{ij}$ 表示萤火虫 $i$ 和萤火虫 $j$ 之间的欧式距离：$$r_{ij}=\sqrt{\sum _{k=1}^n(x_{ik}-x_{jk}{)}^2}$$ $x_{ik}$ 表示萤火虫 $i$ 在维度 $k$ 上的值。

3.2 吸引力

萤火虫的吸引力和距离、光强有关，所以函数在这里设计如下单调递减函数：$$\beta (r)={\beta }_0{e}^{-\gamma r_{ij}^m},m\ge 1$$ 其中，${\beta }_0$ 表示两萤火虫距离为 $0$ 时的吸引力，也就是最大吸引力；$m$ 为 $2$，当距离 $r$ 变大时，吸引力则变小，反之则变大；对于规模为 $\Gamma$ 的萤火虫群，$\gamma$ 的初值可以为：$$\gamma =\frac{1}{{\Gamma }^m}$$ 当 $\gamma =0$ 时， $\beta (r)={\beta }_0$，也就是此时种群十分密集，吸引力达到最大；当 $\gamma$ 趋于 $\infty$ 时，$\beta (r)=0$，此时相当于萤火虫在迷雾发光，其它萤火虫看不见，吸引力几乎为 $0$，所以 $\gamma \in [0.1,10]$。

3.3 萤火虫移动

萤火虫 $i$ 被萤火虫 $j$ 吸引后，会发生移动，移动公式为：$$x_i(t+1)=x_i(t)+\beta (r)(x_j(t)-x_i(t))+s{ϵ}_i$$ 公式分为三部分：萤火虫 $i$ 在第 $t$ 次的位置项 $x_i(t)$，吸引力项 $\beta (r)(x_j(t)-x_i(t))$，移动步长项 $s{ϵ}_i$；其中 $s$ 为萤火虫的移动步长，${ϵ}_i$ 为服从正态分布的随机数向量，通常取值范围为 $[-0.5,0.5]$。在实际中，通常取 ${\beta }_0=1,s=0.2$。

4.具体流程

$（1）$初始化：初始化萤火虫优化算法参数 $\gamma ,s$，生成初代种群，计算种群每个个体的适应度 $f(x)$；
$（2）$移动：计算每只萤火虫相对其它萤火虫的闪光强度 $I(r)$，然后亮度小的萤火虫向着亮度大萤火虫的方向移动，得到新的位置 $x^{\prime }$，移动完后计算新的个体适应度 $f(x^{\prime })$。
$（3）$终止：判断是否达到算法的终止条件，若没有达到，则继续进行步骤$（2）$，直至终止。