MATLAB和Python求解非线性常微分方程

龙格-库塔方法

M阶Runge-Kutta方法用于求解方程，

$$\frac{\mathbf{d}\mathbf{y}}{\mathbf{d}\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right),\mathbf{y}\left(\mathbf{a}\right)={\mathbf{y}}_0\left(1\right)$$

其中$\mathbf{y}:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{\mathbf{n}},\mathbf{f}:\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^{⋉}\to {\mathbb{R}}^{\mathbf{n}},\mathbf{x}\in \left[\mathbf{a},\mathbf{b}\right]$ 。在这里，我们假设函数${\mathbf{f}}_{\mathbf{j}}\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)$ 对于所有$\mathbf{j}=1,\cdots ,\mathbf{n}$在$\left[\mathbf{a},\mathbf{b}\right]$ 中都是利普希茨连续的，并且至少一个函数${\mathbf{f}}_{\mathbf{k}}\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)$ 对于某些$\mathbf{k}\in \left\{1,2,\cdots ,\mathbf{n}\right\}$ 是非线性的。

等式（1）是任何以三重态$\mathbf{A}={\left(\mathbf{a}\right)}_{\mathbf{i}\mathbf{j}}\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{M}\times \mathbf{M}},\mathbf{b}={\left(\mathbf{b}\right)}_{\mathbf{i}}\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{M}},和\mathbf{c}={\left(\mathbf{c}\right)}_{\mathbf{i}}\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{M}},\mathbf{i},\mathbf{j}=1,\cdots ,\mathbf{M}$为特征的数值方法 。 三元组$\left(\mathbf{A},\mathbf{b},\mathbf{c}\right)$ 满足Butcher阵列

参数${\mathbf{c}}_{\mathbf{j}},\mathbf{j}=1,\cdots ,\mathbf{M}$使得$0⩽{\mathbf{c}}_1⩽{\mathbf{c}}_2⩽\cdots ⩽{\mathbf{c}}_{\mathbf{M}}⩽1$。参数${\mathbf{a}}_{\mathbf{i}\mathbf{j}},\mathbf{i},\mathbf{j}=1,\cdots ,\mathbf{M}$满足

$$\sum _{\mathbf{j}=1}^{\mathbf{M}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}\mathbf{j}}={\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}$$

参数${\mathbf{b}}_{\mathbf{i}},\mathbf{i}=1,\cdots ,\mathbf{M}$满足

$$\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{M}}{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}=1$$

下面描述用于求解上述等式（1）的M阶段Runge-Kutta方法。

将时间间隔$\left[\mathbf{a},\mathbf{b}\right]$ 分为$\mathbf{N}$个子间隔$\left[{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}},{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}+1}\right],\mathbf{i}=0,\cdots ,\mathbf{N}$，每个子长度为${\mathbf{h}}_{\mathbf{i}}={\mathbf{x}}_{\mathbf{i}+1}-{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}$。 然后，$\mathbf{a}={\mathbf{x}}_0<{\mathbf{x}}_1<\cdots <{\mathbf{x}}_{\mathbf{N}}=\mathbf{b}$。

给定$\mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}\right)$ ，我们通过在$\left[{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}},{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}+1}\right]$ 上积分方程（1）来计算$\mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}+1}\right)$ ，如下

$$\mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}+1}\right)=\mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}\right)+{\int }_{{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}^{{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}+1}}\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\left(\mathbf{x}\right)\right)\mathbf{d}\mathbf{x},\mathbf{i}=0,\cdots ,\mathbf{N}-1\left(2\right)$$

在每个子间隔$\left[{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}},{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}+1}\right]$ 上，令${\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{j}\right)}={\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}+{\mathbf{c}}_{\mathbf{j}}{\mathbf{h}}_{\mathbf{i}}$，其中$\mathbf{j}=1,\cdots ,\mathbf{M}$。 然后将斜率评估为$\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{j}\right)},\mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{j}\right)}\right)\right)$ ，在子区间$\left[{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(1\right)},{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{j}\right)}\right];\mathbf{j}=1,\cdots ,\mathbf{M}$上的斜率加权总和为

$$\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{j}\right)},\mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{j}\right)}\right)\right)\approx \sum _{\mathbf{l}=1}^{\mathbf{M}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{j}\mathbf{l}}\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{l}\right)},\mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{l}\right)}\right)\right)$$

其中${\sum }_{\mathbf{l}=1}^{\mathbf{M}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{j}\mathbf{l}}={\mathbf{c}}_{\mathbf{j}}$，然后，

$$\begin{gathered} \mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{j}\right)}\right)=\mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(1\right)}\right)+{\int }_{{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(1\right)}}^{{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{j}\right)}}\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\left(\mathbf{x}\right)\right)\mathbf{d}\mathbf{x} \\ \approx \mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(1\right)}\right)+{\mathbf{h}}_{\mathbf{i}}\sum _{\mathbf{l}=1}^{\mathbf{M}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{j}\mathbf{l}}\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{l}\right)},\mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{l}\right)}\right)\right)\left(3\right) \end{gathered}$$

则在区间$\left[{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}},{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}+1}\right]$ 上的斜率的加权平均值是斜率$\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{j}\right)},\mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{j}\right)}\right)\right);\mathbf{j}=1,\cdots ,\mathbf{M}$的凸组合，由此得出，

$$\sum _{\mathbf{l}=1}^{\mathbf{M}}{\mathbf{b}}_{\mathbf{j}}\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{j}\right)},\mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{j}\right)}\right)\right),\sum _{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{M}}{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}=1$$

等式（2）最终为

$$\mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{M}\right)}\right)\approx \mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(1\right)}\right)+{\mathbf{h}}_{\mathbf{i}}\sum _{\mathbf{j}=1}^{\mathbf{M}}{\mathbf{b}}_{\mathbf{j}}\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{j}\right)},\mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{j}\right)}\right)\right)\left(4\right)$$

公式（3）和（4）定义了M阶龙格库塔法。 如果所有$\mathbf{l}>\mathbf{j}$的系数${\mathbf{a}}_{\mathbf{j}\mathbf{l}}=0$，则得出的Runge-Kutta方法是显式的。 如果对于所有$\mathbf{l}>\mathbf{j}$，${\mathbf{a}}_{\mathbf{j}\mathbf{l}}=0$，但对于某些$\mathbf{j}$，${\mathbf{a}}_{\mathbf{j}\mathbf{l}}\ne 0$，则该方法为半显式。 否则，它是隐式的。

${\mathbf{\xi }}_{\mathbf{i}}=\mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{l}\right)}\right)+{\mathbf{h}}_{\mathbf{i}}{\sum }_{\mathbf{j}=1}^{\mathbf{M}}{\mathbf{b}}_{\mathbf{j}}\mathbf{f}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{j}\right)},\mathbf{y}\left({\mathbf{t}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{j}\right)}\right)\right)-\mathbf{y}\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\left(\mathbf{M}\right)}\right)$定义了局部截断误差M阶龙格库塔法。 如果M阶龙格库塔法的局部截断误差为$\mathcal{O}\left({\mathbf{h}}^{\mathbf{P}+1}\right)$ ，其中$\mathbf{h}=\underset{\mathbf{i}=0,\cdots ,\mathbf{N}-1}{\max }\left\{{\mathbf{h}}_{\mathbf{i}}\right\}$ ，则M级Runge-Kutta方法的应该为$\mathbf{P}\in \mathbb{N}$阶 。

通过满足系数${\left(\mathbf{a}\right)}_{\mathbf{i}\mathbf{j}},{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}$和${\mathbf{c}}_{\mathbf{i}},\mathbf{i},\mathbf{j}\in \left\{1,\cdots ,\mathbf{M}\right\}$ 的条件，可以实现M级龙格库塔法的阶数。 Butcher指出隐式M阶龙格库塔法的条件数，如下表1所示，为P阶。

表1

在表2中，我们陈述了M阶龙格库塔法的系数$\left(\mathbf{A},\mathbf{b},\mathbf{c}\right)$ 的条件，最高可达四阶。 如果满足从1到P的所有条件，则该方法的阶数可以为P。

表2

显式龙格库塔法

隐式龙格库塔法

MATLAB解算器

Python解算器

详情参阅 - 亚图跨际