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共轭复数，共轭根式，共轭矩阵，共轭方向，共轭方向法，共轭梯度法，共轭分布，共轭函数，傅里叶变换的共轭对称

目录

1. 共轭复数

2. 傅里叶变换的共轭对称性

3. 共轭根式(radical conjugates)

4. 共轭矩阵（自共轭矩阵、Hermitian（埃尔米特）矩阵）

5. 共轭方向

6. 共轭方向法

7. 共轭梯度法

8. 共轭分布(conjugacy)

9. 共轭函数（对偶函数、极化函数）

共轭（conjugate ）的概念在数学、物理、化学、地理等学科中都有出现。 本意：两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走。扩展到数学等领域，共轭即为按一定的规律相配的一对或一组。

共轭复数，共轭根式，共轭矩阵，共轭方向，共轭方向法，共轭梯度法，共轭分布，共轭函数，傅里叶变换的共轭对称_第1张图片

在数学中常见的共轭有：共轭复数，共轭根式，共轭矩阵，共轭转置，共轭分布，共轭先验，共轭函数, 共轭方向，共轭方向法，共轭梯度

法。

我们在关注共轭时，主要关注共轭的配对规律，共轭的性质，以及取共轭可以带来什么样的数学或应用优势。

1. 共轭复数

配对规律：在复数中，实部相等，虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数。

公式描述：z=a+ib 与 \widetilde{z}=a-ib 互为复数

共轭性质：1）加和为实数

                  2）在复平面上，共轭复数所对应的点关于实轴对称

2. 傅里叶变换的共轭对称性

说明：这里的共轭就是上面介绍的复数共轭，不是指傅里叶变换与傅里叶反变换是一对共轭。

定义：

3. 共轭根式(radical conjugates)

配对规律：两个不等于零的根式A、B，若它们的积AB不含根式，则称A、B互为共轭根式。

共轭性质：通过相乘能把根式去掉。

描述：对根式的模式没有要求，只要满足配对规律的就都是共轭根式。

4. 共轭矩阵（自共轭矩阵、Hermitian（埃尔米特）矩阵）

描述：一般共轭矩阵是一个复数矩阵，实对称阵是Hermite阵的特例。

配对规律：矩阵中第i行第j列的元素与第j行第i列的元素互为共轭复数，的矩阵称为共轭矩阵。

公式描述：对于一个复数矩阵 A=(a_{ij}),如果a_{ij}=\widetilde{a_{ji}},则称A为共轭矩阵。

                  若用H表示矩阵的旋转取共轭操作（称为共轭转置操作），则满足A^{H}=A的矩阵是共轭矩阵。

性质：1）主对角线上的元素全是实数。

           2）若A 和B 是Hermite阵，那么它们的和A+B 也是Hermite阵

           3）若A 和B 是Hermite阵，如果满足AB=BA，那么AB与BA也是Hermite阵

           4）更多性质可参考《矩阵分析与应用（张贤达 第2版）》第101页。拥有很多很好的性质。

5. 共轭方向

组配对规律：对于一组n维的非零(列)向量\{v_1,v_2,v_3,...v_i,...v_j,...\}和一个n*n的对称正定矩阵 Q，若 v_{i}^{T}Qv_j=0，则称这组向量关于矩阵Q是互相共轭的。因为每个向量都可以表示一个方向，所以称为共轭方向。

描述：由定义可知，在高维空间中，一个方向向量的共轭方向不是唯一的，而是一组。

特例：当Q为单位矩阵时，v_{i}^{T}v_j=0，此时这组向量是正交的。由此可见，正交是共轭的一种特殊情况，共轭是正交的推广。

性质：1）互为共轭的一组向量，线性无关

           2）n维空间中，关于任何一个n*n的对称正定矩阵 Q， 非零的共轭向量个数不超过n。

6. 共轭方向法

描述：共轭方向法(conjugate direction method)一种沿着共轭方向寻找无约束最优化问题极小点的一类方法。

对于一个二次型函数f(\vec{x})=\frac{1}{2}\vec{x}^TG\vec{x} + \vec{b} ^T\vec{x} + c, 其中\vec{x}\in R^n,Q是一个正定对称矩阵，

给定关于 Q 的一组包含k(k<=n)个共轭向量的共轭向量组 \{ \vec{d^1},\vec{d^2},...,\vec{d^i},...,\vec{d^k} \} ,与一个初始搜索点\vec{x}^{(1)}，可以通过k次迭代，在\vec{x}^{(1)}与\{ \vec{d^1},\vec{d^2},...,\vec{d^i},...,\vec{d^k} \}张成的k维子空间中找到f(\vec{x})的极小值。每一次迭代都沿着一个新的共轭方向更新，沿该共轭方向的更新步长是一个解析解。

以下是来自共轭方向法 的摘抄。

共轭复数，共轭根式，共轭矩阵，共轭方向，共轭方向法，共轭梯度法，共轭分布，共轭函数，傅里叶变换的共轭对称_第2张图片

其中\alpha_k是沿 \vec{d}^{(k)} 方向的更新步长。\vec{d}^{(k)}是提前已知的。具体的公式证明可参考：《最优化方法（赖炎连 贺国平 主编）》的第三章，3.3节。

7. 共轭梯度法

描述：共轭梯度法可以看作一类特殊的共轭方向法，不同的是，共轭方向法在使用时需要预先定义好一组共轭方向向量。共轭梯度法克服这一缺点，共轭方向向量是随着迭代过程，当场生成下一次迭代的共轭方向。以下摘抄自：共轭梯度法

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其中\beta_{k}也是解析解，具体推论与证明可参考 《最优化方法（赖炎连 贺国平 主编）》的第三章，3.3节。。

8. 共轭分布(conjugacy)

配对规律：如果两个分布满足同样的分布律（形式相同，参数不同），那么这两个分布互称为共轭分布。

性质：分布的表达式相同，参数不同

描述：共轭分布概念通常出现在贝叶斯概率理论中，如果后验概率P(θ|X)和先验概率P(θ)满足同样的分布律(形式相同，参数不同)。那么，先验分布和后验分布被叫做共轭分布，同时，先验分布叫做似然函数的共轭先验（分布）。

9. 共轭函数（对偶函数、极化函数）

定义：设函数 f:R^n\rightarrow R, 定义函数f^*:R^n\rightarrow R为：

                                                       f^*(y)=\sup_{x\in dom f} (y^Tx-f(x)),

则函数f^*是函数f的共轭函数。其中dom f表示函数f的定义域。sup表示函数的上确界，即最小上界。y是共轭函数f^*的变量。

使f^*上确界有限（即 y^Tx-f(x) 在dom f 上有上确界）的所有的y\in R^n构成共轭函数f^*的定义域。下图描述了此定义。

共轭复数，共轭根式，共轭矩阵，共轭方向，共轭方向法，共轭梯度法，共轭分布，共轭函数，傅里叶变换的共轭对称_第4张图片

特点：无论原函数f是否是凸函数，它的共轭函数f^*都是凸函数。

性质：1）凸函数的共轭函数的共轭函数是原函数，f^{**}=f。

           2）更多具体性质可参考《凸优化（王书宁 译）》第85页

相关：可微函数的共轭函数称为函数的Legendre变换。为了区分一般情况和可微情况下所定义的共轭，一般函数的共轭有时称为Fenchel共轭。

 

参考：[1] 连续时间傅里叶变换的共轭与共轭对称性（详细推导）

           [2]【机器学习之数学】02 梯度下降法、最速下降法、牛顿法、共轭方向法、拟牛顿法

           [3]《凸优化（王书宁 译）》

           [4]《最优化方法（赖炎连 贺国平 主编）》的第三章

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按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他