信号与系统11：连续，离散傅里叶变换与级数

连续，离散的傅里叶变换与级数还是很混！

1.由于离散复指数的周期性，导致离散傅里叶变换是有周期的（2π）。而由于这个原因，导致了一系列的差别性，比如离散的相乘特性：时域上的乘积等于频域上的卷积（此时的卷积为周期卷积！）

2.相乘特性

时域上的乘积等于频域上的卷积。(以连续信号为例)，离散信号有一点区别。

我们考虑如果在输入信号为a^t*u（t），频域上为1/[1-ae^(-jw)]；

现在我们考虑在时域上乘以（-1）^t，相当于e^jnπ；

由于e^jnπ为周期信号，我们可以利用连续周期信号的傅里叶变换的公式，首先求出其傅里叶级数然后得出傅里叶变换。可以得到其信号的傅里叶变换为一个脉冲函数（而离散信号的时候，为一连续脉冲，因为离散信号的傅里叶级数系数是周期性的，而连续的则没有这个性质）；

最后连续信号只可以将频谱搬移到有限个频谱带，而离散信号会不断搬移（但其实频谱为2π，4π，6π等等与0是一样的，所以低频是靠近π的偶数倍，高频靠近π的奇数倍）。

结论就是：时域上乘以（-1）^n（离散信号）,频谱是搬移π个单位。（连续的为有限搬移）

也就是通过乘以（-1）^n，可以将低通滤波器变成高通滤波器。（比如脉冲响应为h(t)的系统为低通滤波器，脉冲响应为（-1）^n*h(t)的系统为高通滤波器）。

可以看看下面的例子

（1）a^n*u(n),0

此时的频谱为

（2）a^n*u(n),a<0

发现就是频谱搬移大约π个单位。（滤波器由低通变高通）。

这用相乘特性可以很好地解释为什么频谱搬移。

另外，如果只有低通滤波器，如何让他有高通滤波器的功能呢？将输入信号乘以（-1）^n,频谱搬移将高频移到低频，低频移到高频，通过低通滤波器，实际上率除了低频信号，将输出来的信号再乘以（-1）^n,将高频信号转到高频的位置即可。