【项目实战-MATLAB】：MATLAB 基于傅里叶的图像去噪技术研究

基于傅里叶变换的图像去噪技术研究
摘要：在数字图像处理领域中，一种被广泛应用的经典变换——傅立叶变换，这个算法主要是将时域上的信号变换为频域上的信号，广泛应用于图像去噪、图像增强等领域。本文采用傅里叶变换对不同噪声下的灰度图像进行去噪，并对其PSNR值进行了分析。实验表明，傅里叶变换可以有效地去除图像中的噪声。
关键词：图像去噪；傅里叶变换；PSNR
1 背景介绍
1.1论文研究背景
近年来，随着电子技术、图像处理方法和信号理论的迅速发展，数字图像处理技术也得到了迅速发展。
傅里叶变换是一种常用的数学工具，在数学、物理和工程技术等领域得到了广泛的应用。傅里叶变换将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数的和[1]。数字图像处理技术的基础是傅里叶变换，该算法通过在空间域和频域上切换图像，提取和分析图像的主要特征并且简化了计算量。因此，研究和理解傅里叶变换的性质和展开形式对数字图像处理工作者具有重要意义。将傅里叶变换理论与物理解释相结合将有助于解决大多数图像处理问题。傅里叶变换分为连续傅里叶变换、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换[2]。
1.2 研究现状和前景
傅里叶变换广泛应用于物理学、电子学、数值理论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域。特别是在信号处理中，傅里叶变换的典型应用是将信号分解为振幅和频率分量。随着傅里叶变换在各个领域的扩展和广泛应用，其发展趋势越来越“数字化”，这与计算机技术密不可分。Matlab是目前信号处理和通信领域最活跃的软件，在数学科学和技术应用软件的数值计算中独占鳌头。目前，傅里叶变换在通信领域的应用都是基于这个数学软件进行快速傅里叶变换，并且除了数字信号处理外，优秀的图形处理功能使其解决了数字图像处理技术中这些应用领域中傅里叶变换的具体类型问题，从而使傅里叶变换在通信中得到更广泛的应用和发展[4]。
1.3关于图像噪声
噪声是一种不可预测的随机信号，通常通过概率统计进行分析。噪声对图像处理非常重要，影响着图像处理、捕获、处理和输出的整个过程。特别是图像输入，图像采集时噪声抑制是一个关键问题，如果输入伴随着较大的噪声，这必然会影响加工过程和结果[5]。此外，灰色噪声水平也存在明显差异，导致视力障碍。因此一个良好的图像处理系统，不论是模拟处理还是用计算机进行的数字处理，无不把减少最前一级的噪声作为主攻目标。特此根据噪声性质的不同，消除噪声的方法也不同，本文将着重介绍 “二维傅里叶降噪”。
2 傅里叶变换
1804年，法国科学家傅里叶由于当时工业上金属处理的必要性，他开始研究热流。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解，在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法[4]。尽管他的思想缺乏严谨的论证，但它对现代数学、物理和技术产生了深远的影响，是傅里叶变换的起源。
傅里叶变换是19世纪数学和技术领域最辉煌的成就之一，它本质上假定了一种不同于空间思维的频域思维方法。它一直是信号处理中最完善、应用最广泛的分析工具。它也是一种方便的线性系统分析工具，尤其广泛应用于数字图像处理。在传统的数字图像处理中，傅里叶变换可以对数字系统的功能、采样点、电子放大器、折叠滤波器、噪声、显示点等进行定量分析。它在图像处理和分析中起着重要作用，如图像平滑、图像压缩、描述、纹理分析等。随着图像处理和识别技术的发展，傅里叶变换被应用于数字水印、特征提取和运动状态识别[5]。
2.1连续傅里叶变换
函数f(x)的傅里叶变换存在的条件是满足狄里赫莱条件[6]，即：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。
首先，介绍一维连续傅里叶变换及一维连续傅里叶反变换：
定义单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)为：

其中，x称为时域变量，u为频率变量。 当给定F(u)，通过傅里叶反变换可以得到f(x)

其次，介绍二维连续傅里叶变换及二维连续傅里叶反变换：
二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v) 定义为：

其中x,y为时域变量，u,v为频域变量。当给定F(u,v)，通过傅里叶反变换可以得到f(x,y)：

2.2离散傅里叶变换
定义离散时间信号 x (n)的连续傅立叶变换为
（2.1）
连续傅立叶反变换为：
（2.2）
在此，我们用数字域频率来表示变换对，并且式 (2.2)是在的一个周期内求积分的。取样频率与取样周期T的关系是=1/T　;取样的角频率为取样数字频率为。
式中是一个连续函数。为了在计算机上实现频谱分析，必须对的频谱作离散近似[6]。有限长离散信号 ，n=0, 1, …, N-1 的离散傅立叶变换(DFT)定义为
，k=0,1,2,…,N-1 （2.3）
的离散傅立叶逆变换IDFT（inverse discrete Fourier transform）为：
，n=0,1,…,N-1 （2.4）
式中，，DFT变换区间的长度为N，N>=M. 通常称式（2.3）和（2.4）为傅立叶变换对。
将 DFT 变换的定义式写成矩阵形式，得到其中 DFT 的变换矩阵 A为
　 （2.5）
2.3 二维离散傅里叶变换
如果二维函数是连续可积的，并且是可积的，则Fourier变换对：
（2.6）
和 （2.7）
对二维连续傅里叶变换在二维坐标上进行采样，对空间域的取样间隔为和，对频率域的取样间隔为，它们的关系为：和
那么，二维离散傅里叶变换对由式（2.8）和（2.9）给出：
（2.8）
和 （2.9）
式中。
2.4 图像质量评估指标PSNR
PSNR（Peak Signal to Noise Ratio），峰值信噪比，即峰值信号的能量与噪声的平均能量之比，通常表示的时候取 log 变成分贝（dB）[6]。由于MSE是真实图像和大声图像之间差异的能量来源，两者之间的差异是噪声，因此PSNR是峰值信号能量与MSE的比率。定义式如下：

其中PSNR数值越大，失真越小。
3 实验分析
3.1 灰度图像加入高斯噪声

图1 高斯噪声下去噪结果图
去噪前 PSNR:

17.0968

去噪后 PSNR:

19.1858
3.2 灰度图像加入椒盐噪声

图2 椒盐噪声下去噪结果图

去噪前 PSNR:

15.4601

去噪后 PSNR:

16.0844
4 结论
利用基于MATLAB工具对图像进行傅里叶变换进行去噪，对于不同噪声下的图像，计算图像的PSNR值，对比得到，傅里叶变换总能达到更好的去噪效果。

参考文献
[1] (美) 冈萨雷斯，(美) 伍兹，阮秋琦.数字图像处理.第3版.电子工业出版社2011.
[2] 杨丽娟,张白桦,叶旭桢.快速傅里叶变换FFT及其应用[J] .光电工程.2004年12月第31卷增刊 1003-501X（2004）Sup-0001-03,1～2
[3] 季虎,夏胜平,郁文贤.快速傅立叶变换算法概述[J] .现代电子.2001年,第三期,6～7
[4] 杨帆.数字图像处理与分析[M] .第2版.北京：北京航空航天大学出版社,2010.
[5] 孙既祥.数字图像处理[M].石家庄：河北教育出版社，1993.
[6] 陈书海,傅录祥.实用数字图像处理[M].北京：科学出版社,2005.
结果展示：

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