李代数的导数

扰动模型

BCH公式与近似模型

李群李代数的关系已知，当我们将两个李群的矩阵相乘时，李代数的运算应该时什么呢。
我们知道李群的形式为：
对于上式，我们等价变换：

那么这个式子是否成立呢，显然在标量时是成立的，但是在矩阵形式时不成立，应该以BCH（baker Campbell hausdorff）给出：

其中[，]为李括号，李括号的运算为：

BCH公式中，当向量为小量时，小量二次以上的项都将被忽略，所以BCH公式的近似表达式为：

近似的BCH公式按φ的大小不同，可以将两式分为左乘和右乘。
左乘时，近似雅可比可以表示成下式：

它的逆为：

右乘时为：

假定对某个旋转R，对应的李代数为φ，为它左乘一个微小旋转△R，对应的李代数为△φ，那么李群与李代数的关系可以简单写成：

相应的李代数的加法与李群的乘法之间的关系：

同理在SE3的李群与se3的李代数的关系为：

通过以上的知识我们就可以计算李代数的导数。
SO（3）李代数上的求导，假设对空间点p进行旋转，可以在相机坐标系下得到Rp，计算旋转之后的坐标，相对与旋转之间的导数，而旋转矩阵不能求导，所以转变为李代数进行求导：

按照导数的定义可以得到：

上式中我们可以看到，通过第一行与第二行是近似BCH公式的李群与李代数之间的运算，而第三行是泰勒公式展开去除二阶以上得到的结果，四到五行为叉积运算之后的结果，因为叉积的运算，axb=-bxa。
所以可以得到第四行与第五行的过程。
可以看出上式的有一个J的形式比较发杂，可以用扰动的方式消除，计算方式如下如下：

扰动模型

对旋转矩阵R进行一次扰动△R，这个扰动左乘，设对应的△R的李代数为φ，则对φ求导可以得到：

根据前面推导的过程，可以知道第二行到第三行之间是因为泰勒公式的展开：

同理：

SE(3)上的李代数求导

可以通过增加扰动的方式计算，如下：