关于复杂网络的一些基础概念

1 度（Degree）¹

在图论中，一个节点在图中的度 (degree)是与这个节点相连接的边的数目。给定一个图$G=(V,E)$，其度求和公式为：

$$\sum _{v\in V}\mathrm{deg}(v)=2|E|.$$

对于有向图：

• 节点的入度是指进入该节点的边的条数。

• 节点的出度是指从该节点出发的边的条数。

另外，度为0的顶点称为孤立节点；度为1的节点称为叶节点或端点，与端点相关联的边称为悬挂边。有n个顶点的图中度为n-1的顶点称为全连接节点。

2 节点强度（Node strength）²

节点强度：是指连接到节点的边的权重的总和。

对于有向图，内强度为进入该节点的边的权值之和；而外强度则为从该节点出发的边的权值之和。

3 平均路径长度（Average path length）³

平均路径长度也称为特征路径长度或平均最短路径长度，指的是一个网络中两点之间最短路径长度（或称距离）的平均值。
从一个节点$s_i$出发，经过与它相连的节点，逐步"走"到另一个节点$s_j$所经过的路途，称为两点间的路径。其中最短的路径也称为两点间的距离，记作$dist(i,j)$。计算平均路径长度的公式为：

$${\mathrm{dist}}_c=\frac{2}{N(N+1)}\sum _{i⩽N}\sum _{j⩾i}\mathrm{dist}(i,j)$$

注：这其中$N$是节点数目，并定义节点到自身的最短路径长度为0。

4 集聚系数（Clustering coefficient）⁴

在图论中，集聚系数（也称群聚系数、集群系数）是用来描述一个图中的节点之间结集成团的程度的系数。具体来说，是一个点的邻接点之间相互连接的程度。例如生活社交网络中，你的朋友之间相互认识的程度。

集聚系数分为整体与局部两种：

• 整体集聚系数可以给出一个图中整体的集聚程度的评估。整体集聚系数定义为一个图中所有闭三点组的数量与所有连通三点组（无论开还是闭）的总量之比。

  假设图中有一部分点是两两相连的，那么可以找出很多个“三角形”，其对应的三点两两相连，称为闭三点组。除此以外还有开三点组，也就是之间连有两条边的三点（缺一条边的三角形）。

• 而局部集聚系数则可以测量图中每一个结点附近的集聚程度。对图中具体的某一个点，它的局部集聚系数 表示与它相连的点抱成团（完全子图)的程度，用以判别一个图是否是小世界网络。图中的一个节点$v_i$的局部集聚系数$C(i)$等于所有与它相连的顶点之间所连的边的数量，除以这些顶点之间可以连出的最大边数。

注：有向图和无向图计算公式也有所不同，这里省略计算公式，感兴趣的可以参考文末提供的链接地址作进一步的学习。

知道了一个图里的每一个节点的局部集聚系数后，便可以计算整个图的平均集聚系数。显然，所有顶点的局部集聚系数的算术平均数即为平均集聚系数。

注：平均集聚系数与整体集聚系数都是衡量一个图在整体上的集聚程度。

5 中心性（Centrality）⁵

在图论和网络分析中，中心性指标可以理解为图中节点的网络位置分配数量或排名。 例如识别社会网络中最有影响力的人、互联网或城市网络中的关键基础设施节点、疾病的超级传播者等。

5.1 度中心性（Degree centrality）⁶⁷

度中心性（Degree Centrality）是在网络分析中刻画节点中心性（Centrality）的最直接度量指标。重要的节点就是拥有许多连接的节点。例如：你的社会关系越多，你的影响力就越强。

5.2 接近中心性（Closeness centrality）

接近中心性反映的是在网络中某一节点与其他节点之间的接近程度。接近中心性是节点到其他所有可达节点的最短路径长度的和。

点度中心性仅仅利用了网络的局部特征，即节点的连接数有多少，但一个人连接数多，并不代表他/她处于网络的核心位置。接近中心性和中介中心性一样，都利用了整个网络的特征，即一个节点在整个结构中所处的位置。如果节点到图中其他节点的最短距离都很小，那么它的接近中心性就很高。相比中介中心性，接近中心性更接近几何上的中心位置。

5.3 介数中心性（Betweenness centrality）

注：有些翻译的是中介中心性或中间中心性。

网络中两个非相邻成员之间的相互作用依赖于其他成员，特别是两成员之间路径上的那些成员，且他们对两个非相邻成员之间的相互作用具有控制和制约作用。

简单点说就是：如果一个成员位于其他成员的多条最短路径上，那么该成员就是核心成员，就具有较大的介数中心性。

显然，每个节点的介数中心性即为这些最短路径穿过该节点的次数。

• 在无权重网络图中该最短路径是路径包含边的数量求和。

• 而在加权网络图中该最短路径则是路径包含边的权重求和。

5.4 特征向量中心性（Eigenvector centrality）

一个节点的重要性既取决于其邻居节点的数量，即该节点的度，也取决于其邻居节点的重要性。特征向量中心性的基本思想是，一个节点的中心性是相邻节点中心性的函数。也就是说，与你连接的人越重要，你也就越重要。

5.5 中心性小结

我们用一句话来总结：

1. 点度中心性：若你的社会关系（即与你相连的人）越多，则你就越重要。

2. 介数中心性：若你处于其他成员的多条最短路径上（即通过你才能认识其他人），那么你就是核心成员，自然也就越重要。

3. 接近中心性：若你跟所有其他成员的距离越近，则你就越重要。

4. 特征向量中心性：若与你连接的人社会关系越多，则你就越重要。

参考资料

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1. 度 (图论) - 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org) ↩︎

2. List of measures - Brain Connectivity Toolbox (google.com) ↩︎

3. 小世界网络 - 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org) ↩︎

4. 集聚系数 - 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org) ↩︎

5. Centrality - Wikipedia ↩︎

6. 度中心性_百度百科 (baidu.com) ↩︎

7. 图或网络中的中心性：点度中心性、中介中心性、接近中心性、特征向量中心性、PageRank_知行合一，止于至善-CSDN博客_特征向量中心性 ↩︎