python---cvxopt.solvers.qp(P,q,G,h,A,b)

标准形式：
$$\begin{gathered} min\frac{1}{2}{x}^{T}Px+q^{T}x \\ s.t.Gx\le h \\ Ax=b \end{gathered}$$

注意：$P$为对称矩阵，$x$是列向量。
示例：
$$\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left(a{x}_1^2+d{x}_2^2+2b{x}_1{x}_2\right)$$
$$\begin{gathered} min{x}_1^2+x_2^2+x_1{x}_2+2x_1+x_2 \\ s.t.x_i\ge 0,i=1,2 \\ \sum _{i=1}^2{x}_i=1 \end{gathered}$$

因此，由$x_1^2+x_2^2+x_1{x}_2$可以推出：
$$P=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$$

由$2x_1+x_2$可以推出：
$$q=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$$

注意：约束条件需要化成标准形式：
$$\begin{gathered} s.t.-x_i\le 0,i=1,2 \\ \sum _{i=1}^2{x}_i=1 \end{gathered}$$

因此，可以推出：
$$\begin{array}{l}G=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\\ \\ h=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]\\ \\ A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]\\ \\ b=1\end{array}$$

因此，要求解：

$$\begin{gathered} min{x}_1^2+x_2^2+x_1{x}_2+2x_1+x_2 \\ s.t.x_i\ge 0,i=1,2 \\ \sum _{i=1}^2{x}_i=1 \end{gathered}$$

可通过：cvxopt.solvers.qp(P,q,G,h,A,b)来进行求解。
其中参数为：
$$P=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right],q=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right],G=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right],h=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right],b=1$$
Code:

from cvxopt import solvers, matrix

P=matrix([[2.,1.],[1.,2.]])
q=matrix([2.,1.])
G=matrix([[-1.,0.],[0.,-1.]])
h=matrix([1.,1.])
A=matrix([1.,1.],(1,2))
b=matrix(1.)

solvers.options['show_progress'] = False
sol = solvers.qp(P,q,G,h,A,b)

print(sv['x'])
print(sv['primal objective'])

Result: