矩阵分析笔记（二）

$\lambda$矩阵

设$a_{ij}(\lambda )(i=1...m,j=1...n)$为数域$F$上多项式，则称
$$A(\lambda )=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}(\lambda )& a_{12}(\lambda )& \cdots & a_{1n}(\lambda )\\ a_{21}(\lambda )& a_{22}(\lambda )& \cdots & a_{2n}(\lambda )\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}(\lambda )& a_{m2}(\lambda )& \cdots & a_{mn}(\lambda )\end{array}\right]$$为多项式矩阵或$\lambda$矩阵
其中$a_{ij}(\lambda )(i=1...m,j=1...n)$中最高次数为$A(\lambda )$次数

例如数字矩阵，特征矩阵$\lambda E-A$

秩

若$\lambda$矩阵$A(\lambda )$中有$r(r\ge 1)$阶子式不为零，而所有$r+1$阶子式（若有的话）全为零，则称$A(\lambda )$的秩为$r$，记为$rankA(\lambda )=r$，零矩阵的秩为$0$

初等变换

• 行（列）换位
• 数乘行（列）
• 行（列）倍加

其中倍数为$\varphi (\lambda )$，为$\lambda$的一个多项式

行（列）变换等价于左（右）乘相应初等矩阵

等价

若$A(\lambda )$经过有限次初等变换后变成$B(\lambda )$则称$A(\lambda )$与$B(\lambda )$等价，记为$A(\lambda )\simeq B(\lambda )$
等价关系满足

• 自反性
• 对称性
• 传递性

Smith标准形

对任意非零$\lambda$矩阵$A(\lambda )$都等价于一个“对角矩阵”
$$A(\lambda )\simeq \left[\begin{array}{cccccc}{d}_1(\lambda )& & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & d_r(\lambda )& & & \\ & & & 0& & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 0\end{array}\right]$$
其中$r\ge 1$，$d_i(\lambda )$首项系数为$1$，且$d_i(\lambda )|d_{i+1}(\lambda )$
这种形式的$\lambda$矩阵称Smith标准形
$d_1(\lambda ),...,d_r(\lambda )$称$A(\lambda )$不变因子

唯一性

$A(\lambda )$为$\lambda$矩阵且$rank(A(\lambda ))=r$对于任意正整数$k,1\le k\le r$，$A(\lambda )$必有非零的$k$阶子式，$A(\lambda )$的全部$k$阶子式的首项系数为$1$的最大公因式$D_k(\lambda )$称为$A(\lambda )$的$k$阶行列式因子

显然，若$rank(A(\lambda ))=r$，则行列式因子共有$r$个

等价的$\lambda$矩阵有相同的各阶行列式因子，从而有相同的秩

$\lambda$矩阵$A(\lambda )$的Smith标准形是唯一的

标准形的各阶行列式因子为
$$\begin{gathered} D_1(\lambda )=d_1(\lambda ) \\ {D}_2(\lambda )=d_1(\lambda )d_2(\lambda ) \\ ⋮ \\ {D}_r(\lambda )=d_1(\lambda )d_2(\lambda )\cdots d_r(\lambda ) \end{gathered}$$
从而有
$$\begin{gathered} d_1(\lambda )=D_1(\lambda ) \\ {d}_2(\lambda )=\frac{D_2(\lambda )}{D_1(\lambda )} \\ ⋮ \\ {d}_r(\lambda )=\frac{D_r(\lambda )}{D_{r-1}(\lambda )} \end{gathered}$$
由于$A(\lambda )$与上面Smith标准形具有相同各阶行列式因子
所以$A(\lambda )$的各阶行列式因子为$D_1(\lambda ),...,D_r(\lambda )$

给定$A(\lambda )$各行列式因子已经确定

从而不变因子
$$d_1(\lambda ),...,d_r(\lambda )$$
由行列式因子唯一确定，$A(\lambda )$的Smith标准形是唯一的

等价

• $\lambda$矩阵$A(\lambda )$与$B(\lambda )$等价的充要条件为它们各阶行列式因子相同
• $\lambda$矩阵$A(\lambda )$与$B(\lambda )$等价的充要条件为它们有相同不变因子

初等因子

设$\lambda$矩阵$A(\lambda )$不变因子为$d_1(\lambda ),...,d_r(\lambda )$，在复数域内将它们分解为一次因式的幂乘积
$$\begin{gathered} d_1(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{e_{11}}(\lambda -{\lambda }_1{)}^{e_{12}}...(\lambda -{\lambda }_1{)}^{e_{1s}} \\ {d}_2(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{e_{21}}(\lambda -{\lambda }_1{)}^{e_{22}}...(\lambda -{\lambda }_1{)}^{e_{2s}} \\ ⋮ \\ {d}_r(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{e_{r1}}(\lambda -{\lambda }_1{)}^{e_{r2}}...(\lambda -{\lambda }_1{)}^{e_{rs}} \end{gathered}$$
其中${\lambda }_1,...,{\lambda }_s$为互异复数，$e_{ij}$为非负整数，所有指数大于零的因子$(\lambda -{\lambda }_j{)}^{e_{ij}},e_{ij}>0,i=1...r,j=1...s$称$A(\lambda )$初等因子
且有
$$\begin{gathered} 0\le e_{11}\le e_{21}\le ...\le e_{r1} \\ 0\le e_{12}\le e_{22}\le ...\le e_{r2} \\ ⋮ \\ 0\le e_{1s}\le e_{2s}\le ...\le e_{rs} \end{gathered}$$
$\lambda$矩阵$A(\lambda )$和$B(\lambda )$等价的充要条件是相同的秩和初等因子

若$\lambda$矩阵
$$A(\lambda )=\left[\begin{array}{cccc}{A}_1(\lambda )& & & \\ & A_1(\lambda )& & \\ & & \ddots & \\ & & & A_t(\lambda )\end{array}\right]$$
则$A_1(\lambda ),...,A_t(\lambda )$各个初等因子全体为$A(\lambda )$全部初等因子

$\lambda$矩阵
$$A(\lambda )=\left[\begin{array}{cccccc}{f}_1(\lambda )& & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & f_t(\lambda )& & & \\ & & & 0& & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 0\end{array}\right]$$
则$f_1(\lambda ),...,f_t(\lambda )$所有一次因式幂全体为$A(\lambda )$的全部初等因子

数字矩阵相似

对于数字矩阵$A$，我们称$\lambda I-A$行列式因子 / 不变因子为$A$行列式因子 / 不变因子，称$\lambda I-A$的初等因子为$A$的初等因子

设$A,B$为两个$n$阶数字矩阵，那么$A$与$B$相似的充要条件为它们特征矩阵$\lambda I-A$与$\lambda I-B$等价

对任意数字矩阵$A$，$|\lambda I-A|\ne 0$则
$$rank(\lambda I-A)=n$$

两个同阶方阵$A,B$相似充要条件为它们有相同初等因子
两个同阶方阵$A,B$相似充要条件为它们有相同行列式因子 / 不变因子

方阵若尔当标准形

称$n_i$阶矩阵
$$J_i=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_i& 1& & & \\ & a_i& 1& & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & 1\\ & & & & a_i\end{array}\right]$$
为Jordan块
$(\lambda I-J_i)$行列式因子为
$$\begin{gathered} D_{n_i}(\lambda )=(\lambda -a_i{)}^{n_i} \\ {D}_{n_i-1}(\lambda )=...=D_1(\lambda )=1 \end{gathered}$$
所以$J_i$初等因子为$(\lambda -a_i{)}^{n_i}$

若$J_1...J_s$都为Jordan块，则称准对角矩阵
$$J=\left[\begin{array}{cccc}{J}_1& & & \\ & J_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & J_s\end{array}\right]$$
为Jordan标准型
$J$的初等因子为$(\lambda -a_1{)}^{n_1},(\lambda -a_2{)}^{n_2},...,(\lambda -a_s{)}^{n_s}$

设$A$为$n$阶方阵，初等因子为
$$(\lambda -a_1{)}^{n_1},...,(\lambda -a_s{)}^{n_s}$$
则$A\sim J=diag(J_1,...,J_S)$

Jordan块排序不重要

$n$阶矩阵$A$可对角化的充要条件为$A$的初等因子都为一次因式

相似变换矩阵

设$n$阶方阵$A$的Jordan标准形为$J$，则存在可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP=J$，称$P$为相似变换矩阵

性质

• 每个Jordan块$J_i$对应属于${\lambda }_i$的一个特征向量
• 对于给定${\lambda }_i$对应的Jordan块个数等于${\lambda }_i$的几何重数
• 特征值${\lambda }_i$对应全体Jordan块阶数之和等于${\lambda }_i$代数重复度
• 设$n$阶方阵$A$相似于Jordan标准形$J$，且$P^{-1}AP=J$，则
  $$\begin{gathered} rank({\lambda }_{i}E-A{)}^l=rank{P}^{-1}({\lambda }_{i}E-A{)}^{l}P=rank(P^{-1}({\lambda }_{i}E-A)P{)}^l=rank({\lambda }_{i}E-J{)}^l \\ l=1,2,... \end{gathered}$$
• 对于$n_i$阶的Jordan块$J_i$，$(J_i-{\lambda }_{i}E{)}^l$的秩变化如下
  $$\begin{gathered} rank(J_i-{\lambda }_{i}E)=n_i-1, \\ rank(J_i-{\lambda }_{i}E{)}^2=n_i-2, \\ ⋮ \\ rank(J_i-{\lambda }_{i}E{)}^{n_i-1}=1, \\ rank(J_i-{\lambda }_{i}E{)}^h=0,(h\ge n_i) \end{gathered}$$
  若${\lambda }_j\ne {\lambda }_i$，则
  $$rank(J_j-{\lambda }_{i}E{)}^l=n_j,(l=1,2,...)$$
  即随着$l$增大，影响$rank(J-{\lambda }_{i}E{)}^l$的只有${\lambda }_i$对应Jordan块

Jordan标准型另一种求法

对$n$阶矩阵$A$，若
$$\begin{gathered} rank({\lambda }_{i}I-A)=s_1, \\ rank({\lambda }_{i}I-A{)}^2=s_2, \\ ⋮ \\ rank({\lambda }_{i}I-A{)}^l=s_l, \\ rank({\lambda }_{i}I-A{)}^{l+1}=s_l \end{gathered}$$
则对于$A$的特征根$\lambda ={\lambda }_i$，共有$n-s_1$个Jordan块，其中阶数最高为$l$，阶数$\ge 2$的Jordan块有$s_1-s_2$个，阶数$\ge 3$的Jordan块有$s_2-s_3$个，…，$l$阶的有$s_{l-1}-s_l$个