【图论】—— Bellman-Ford算法和SPFA算法

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给定一张有向图，若对于图中的某一条边 ，有 成立，则称该边满足三角形不等式。如果所有边都满足三角形不等式，则 数组就是所求的最短路。

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Bellman-Ford算法

 表示的是一条从 x 出发， 到达 y ，长度为 z 的有向边。

首先介绍基于迭代的Bellman-Ford算法，它的流程如下：

1. 扫描所有边  ，若  , 则用  更新 
2. 重复上述操作，直到没有更新操作发生。

Bellman-Ford算法的时间复杂度是 

通过Bellman-Ford算法我们可以求解有边数限制的最短路问题。

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例题：AcWing 853. 有边数限制的最短路

算法步骤 ：

1. 初始化 dist 数组为正无穷， dist[1] = 0
2. （外重循环）循环 i 从 1 到 n ，遍历 n 次表示：是不经过超过 i 条边到达终点的最短距离
3. （内重循环）循环 i 从 1 到 m， 遍历 m 条边，把所有的边都进行松弛操作：
      每次取出两点以及以及连接他们的权重 
   
      用以下公式更新最短距离： 

 注意点：

1. 需要把dist数组进行一个备份，这样防止每次更新的时候出现串联
2. 由于存在负权边，所以 return -1 的条件是  

代码实现 ：

#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 510, M = 10010;

struct Edge
{
    int a, b, w;
}e[M]; // 存下每一条即可
int dist[N];
int back[N]; // 备份数组放置串联
int n, m, k;

void bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    
    for(int i = 0; i < k; i ++ ) // 不超过k条边
    {
        memcpy(back, dist, sizeof back);
        for(int j = 0; j < m; j ++ ) // 遍历所有边
        {
            int a = e[j].a, b = e[j].b, w = e[j].w;
            dist[b] = min(dist[b], back[a] + w);
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for(int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        e[i] = {a, b, w};
    }
    
    bellman_ford();
    if(dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) puts("impossible");
    else cout << dist[n] << endl;
    
    return 0;
}

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SPFA算法

SPFA算法在国际上通称为“队列优化的“Bellman-Ford算法”。

SPFA算法的流程如下：

1. 建立一个队列，起初队列中只含有起点1
2. 取出头结点 x ，扫描它的所有出边  ，若  ，则使  用
   
   用  来更新。同时若y不再队列中，则将y入队

在任意时刻，该算法的队列都保持了该拓展的节点。每次入队都相当于完成了一次 dist 数组的更新操作，使其满足三角不等式。一个节点可能会入队、出队多次。最终，图中所有的结点全部收敛到全部满足三角不等式的状态。

这个队列避免了对Bellman-Ford算法中不需要拓展的多余结点的冗余扫描，在随机图上的运行效率为  级别，其中 k 是一个很小的常数。

代码实现：SPFA求最短路

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int n, m;
int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx;
int dist[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++ ;
}

void spfa()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    queue q;
    dist[1] = 0;
    st[1] = true;
    q.push(1);
    
    while(q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        
        st[t] = false;
        
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if(dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if(!st[j])
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }

    spfa();
    
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) puts("impossible");
    else printf("%d",dist[n]);

    return 0;
}