【计算几何】 向量叉积&&Andrew算法求凸包 详解

一.预备知识

1.向量

向量是一类既有大小又有方向的量，如加速度，速度，位移等等
向量的编程表示：

typedef struct{
  double x;
  double y;
}Vector;

注：平面中的点也是用一对x，y来表示的，和向量是一样的，所以常常如下操作：

typedef struct{
  int x;
  int y;
}Point;

typedef Point Vector;

既避免了混淆两种变量，又使程序看起来非常简洁

重载运算符：

Vector operator - (Point a,Point b){
  return Vector {a.x-b.x,a.y-b.y};
}

↑两个点相减得到向量，便于书写

2.向量的叉积

叉积又称叉乘，符号为×。
两个向量叉乘的结果还是一个向量
其运算规则如下：
①所得向量的模为：
$|a\times b|=|a|\cdot |b|\cdot sin\theta$
其中$\theta$为向量a与向量b的夹角
②所得向量的方向为：
与a，b所在平面垂直，且满足右手定则（由a转向b角度小于180，大拇指所指方向即为叉乘所得向量的方向）

3.平面坐标中叉乘的计算方法

向量a：$(a_x,a_y)$
向量b：$(b_x,b_y)$
$a\times b=a_x\cdot b_y-a_y\cdot b_x$

证明：
①叉乘满足分配律：
$a\times （b+c）=a\times b+a\times c$

②令$e_1$表示x轴方向的单位向量，$e_2$表示y轴方向的单位向量，则向量$a=a_x\cdot e_1+a_y\cdot e_2$，向量$b=b_x\cdot e_1+b_y\cdot e_2$

③ $a\times b$
$=(a_x\cdot e_1+a_y\cdot e_2)\cdot (b_x\cdot e_1+b_y\cdot e_2)$
$=(a_x\cdot b_x\cdot e_1\cdot e_1)+(a_x\cdot b_y\cdot e_1\cdot e_2)+(a_y\cdot b_x\cdot e_2\cdot e_1)+(a_y\cdot b_y\cdot e_2\cdot e_2)$

由$|a\times b|=|a|\cdot |b|\cdot sin\theta$可得：

$e_1\cdot e_1=0;e_2\cdot e_2=0$（夹角为0）

$e_1\cdot e_2=1;e_2\cdot e_1=-1$（夹角90°）

由右手定则可得，前者叉乘方向指向z轴正方向，所以值为正。后者反之，值为负。
综上，即得$a\times b=a_x\cdot b_y-a_y\cdot b_x$

4.叉积的应用

①由向量叉积的方向可得：

如果向量b在向量a的左边/上边（逆时针方向小于180°），则它们的叉乘结果方向垂直纸面向外（从坐标系的角度考虑，即z轴正方向）；

反之，如果向量b在向量a的右边/下边（逆时针方向大于180°），则它们的叉乘结果方向垂直纸面向里（z轴负方向）；

建议画图理解

所以在坐标系中，叉乘结果为正代表向量b在向量a的逆时针小于180°方向；结果为负代表向量b在向量a的逆时针大于180°方向（为0共线/平行）

↑也就是叉乘在求凸包中的应用了，即求得向量的顺逆时针关系

②由向量叉积的模可得：

高中学过的三角形面积公式：
$\frac{1}{2}|a|\cdot |b|\cdot sin\theta$
（因为$|b|\cdot sin\theta$即三角形中边a的高）
那么叉积的值也就是向量a，b构成的平行四边形的面积

5.叉乘计算代码：

double Cross(Vector a,Vector b){
  return A.x*B.y-A.y*B.x;
}

tips:叉乘英文为Cross Product

二.Andrew 算法

1.凸包定义

将给定点包围在内部的面积最小的凸多边形
因为要满足面积最小，凸包必然是由这给定点中的若干个组成的

2.Andrew 算法

①将所有点按x坐标从小到大排序（如果x相同，则y从小到大排序），可以通过反证法证明：x坐标最小的那个点必然是凸包上的一个点
②不妨令坐标都被存放在数组p（排过序）中，并用一个Ch数组存放凸包（tips：凸包英文Convexhull），取出数组p中的前两个点$p_1$、$p_2$加入凸包
③判断$p_3$与$p_1{p}_2$（$p_1$、$p_2$构成的向量）的关系：

如果是第1种情况，$p_3$在向量$p_1{p}_2$的下方（即$p_1{p}_3$在$p_1{p}_2$的顺时针小于180°的位置），那么我们就可以判断p2必定不是凸包上的点，于是把$p_2$点从凸包中删除

如果是第2种情况，则$p_2$仍可能是凸包上的点，不做处理

然后将$p_3$加入凸包

④不断重复上述操作，判断新的点是否在“前进方向”的上方，（即最近加入凸包的两个点形成的向量），如果不是，则需要删除最近加入凸包的那个点，注意删除完后还需要继续判断

用栈来表示可以更好理解，不断向栈加入点，遇到新点时和栈顶的两个点进行形成的向量比较位置关系，若在下方则删除栈顶的点，然后继续和栈顶的两个点比较，直到新点处于上方为止（或者栈中点不足两个）。

⑤这样不断操作直到点$p_n$，就求出了凸包的下半部分，然后反过来从$p_n$开始，重复操作就能求出凸包的上半部分。合起来就得到了一个完整的凸包

三.模板

①判断新点与“前进方向”的位置关系通过前文所讲的向量叉积实现，根据结果正负性判断方向

②这道题用了栈的思想，但是用数组模拟也可以

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const double eps=1e-8;

typedef struct{
 int x,y;
}Point;

typedef Point Vector;

Point P[50005];
Point Ch[50005];

Vector operator - (Point a,Point b){
  return Vector {a.x-b.x,a.y-b.y};
}

int Cross(Vector a,Vector b){
  return a.x*b.y-a.y*b.x;
}

bool cmp(Point a,Point b){
   if(a.x!=b.x) return a.x<b.x;
   return a.y<b.y;
}

int main()
{
    int N;
    scanf("%d",&N);
    for(int i=0;i<N;i++)
    scanf("%d%d",&P[i].x,&P[i].y);
    sort(P,P+N,cmp);

    int cnt=0;
    for(int i=0;i<N;i++){
      while(cnt>1&&Cross(Ch[cnt-2]-Ch[cnt-1],Ch[cnt-2]-P[i])<=0)
          cnt--;
      Ch[cnt++]=P[i];
    }
    int vis=cnt;
    for(int i=N-2;i>=0;i--){
       while(cnt>vis&&Cross(Ch[cnt-2]-Ch[cnt-1],Ch[cnt-2]-P[i])<=0)
          cnt--;
       Ch[cnt++]=P[i];
    }
    return 0;
}