【动态规划】找零钱问题解析（含c++和python代码）

一个具体的找零钱问题：

参考：程序员面试再也不怕动态规划了，看动画，学DP，找零钱 (LeetCode 322)

硬币面值：1，2，5，7，10
找零金额：14

• step1:定义长度为15的dp数组
  所有元素初始化为-1，$dp[0]=0$
  
• step2:遍历coins列表找出小于金额的硬币面值$j$，接着再使用$dp[i-coins[j]]$来找出$i-coins[j]$的最优解;最终金额$i$的最优解为$1+dp[i-coins[j]]$。
  $dp[1]=dp[0]+1=1$
  $dp[2]=dp[0]+2$、$dp[2]=dp[1]+1$，而$dp[0]<dp[1]$，故$dp[2]=dp[0]+2=1$
  $dp[3]=1+dp[2]$、$dp[3]=2+dp[1]$，而$dp[1]=dp[2]=1$，故$dp[3]=1+1=2$
  $dp[4]=1+dp[3]$、$dp[4]=2+dp[2]$，而$dp[2]<dp[3]$，故$dp[4]=2$
  $dp[5]=dp[0]+1=1$
  $dp[6]=1+dp[5]$、$dp[6]=2+dp[4]$、$dp[6]=5+dp[1]$
  同理，计算出剩下所有金额的最优解：

C++版

using namespace std;
class Solution{
public:
	int coinChange(vector<int>&coins,int amount){
		vector<int>dp(amount+1,-1);
		dp[0]=0;
		for(int i=1;i<=amount;i++){
			for(int j=0;j<coins.size();j++){
				if(coins[j]<=i&&dp[i-coins[j]!=-1){
				//如果当前金额还未计算或者dp[i]比正在计算的解大，则更新最优解dp[i]
					if(dp[i]==-1||dp[i]>dp[i-coins[j]]+1)
						dp[i]=dp[i-coins[j]]+1;
				}
			}
		}
		return dp[amount]	//返回金额amount的最优解
	}	
}

python版

采用动态规划编写一个找零钱函数dpMakeChange，接收硬币面值列表coinValueList和找零金额change两个参数，返回change对应的最少硬币数的找零详情字典（包含所用的每种硬币面值和个数）。

def dpMakeChange(coinValueList, change):
    minCoins = [0] * (change + 1)#初始化minCoins列表为0
    coinsUsed = {}#保存的是找零钱change最后一枚找的币值
    for cents in range(change + 1):
        coinCount = cents#初始化硬币数量为金额cents
        newCoin = 1
        #遍历硬币列表coinValueList,遍历小于金额cents的硬币面值
        for j in [c for c in coinValueList if c <= cents]:
        	#如果当前正在求的最优解小于当前金额的coinCount，则更新coinCount值
            if minCoins[cents - j] + 1 < coinCount:
                coinCount = minCoins[cents - j] + 1
                newCoin = j
        minCoins[cents] = coinCount#把最优的coinCount值放入minCoins表中
        coinsUsed[cents] = newCoin
    changeDetails = {}#保存找零金额change对应最少硬币数的找零详情字典
    while change > 0:
        thisCoin = coinsUsed[change]
        if thisCoin in changeDetails:
            changeDetails[thisCoin] += 1
        else:
            changeDetails[thisCoin] = 1
        change -= thisCoin
    return changeDetails