leetcode 279：完全平方数

leetcode 279：完全平方数

279. 完全平方数

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入：n = 12
输出：3 
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

提示：

• 1 <= n <= 104

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数学

动态规划

官方解答：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/solution/wan-quan-ping-fang-shu-by-leetcode-solut-t99c/

思路1：动态规划

根据题目要求，设f(i)表示构建i需要多少个完全平方数。

那么这些数肯定是在[1,根号n]。那么我们可以枚举这些数，假设当前数是j，那么选取j之后，还需要若干完全平方数构成i-j^2。那么i-j^2这个数之前已经计算过，可以直接取出。

算法思路：

1. 计算f(i)，选取的平方数范围是[1,根号n]，枚举这些数。
2. 计算构成i-j^2所需的完全平方数的个数，再加上1(j也算1个完全平方数)，就是构建i所需要的完全平方数个数（f(i)）。

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        for(int i = 1; i <= n;i++){
            //计算构建[i-j^2]所需的最小数
            int min = Integer.MAX_VALUE;
            //构建i的完全平方数范围是[1,根号i]
            for(int j = 1; j*j <= i;j++){
                min = Math.min(min,dp[i-j*j]);
            }
            dp[i] = min + 1;
        }
        return dp[n];
    }
}
解答成功:
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思路2：四平方和定理

任意一个数都可以表示为至多四个数的平方和。限制了上界。

1. 答案为1时，则必有n为完全平方数。
2. 答案为2时，则必有n = a²+b²,只需要枚举a(1<=a<=根号n)，判断n-a²是否为完全平方数。
3. 当且仅当n不等于4^k*(8m+7)时，n最多可被表示3个正整数的平方和。因为我们可以直接计算1,2,4，如果都不符合，那答案肯定是3.
4. 当n等于4^k*(8m+7)时，表示只需要4个正整数平方和。

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
       if(isSquares1(n)){
           return 1;
       }
       if(isSquares2(n)){
           return 2;
       }
       if(isSquares4(n)){
           return 4;
       }
       return 3;
    }
    public boolean isSquares1(int x){
        int y = (int)Math.sqrt(x);
        return y*y == x;
    }
    public boolean isSquares2(int x){
        for(int i = 1; i*i <= x;i++){
            int j = x-i*i;
            if(isSquares1(j)){
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
    public boolean isSquares4(int x){
        //4^k(8m+7)
        //第一步 除掉4^k次方
        while(x%4==0){
            x /= 4;
        }
        //第二步判断余数是不是7
        return x%8 == 7;
    }
}
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