[线性代数]n维向量(秦静老师主讲)

本章主要讲述n维向量的方面知识。n维向量在我们计算机上就是一块数组，在数学里用处就比较大了。

向量及其线性运算

向量分为行向量和列向量，在本小节先把基本概念拎清楚

向量α长度或范数

如果在matlab里听见让我们求范数，那就是求模长。

不要小看这个模，这个模，在后面的章节里，可以作正交化。

向量的单位化

除以他的模长！

本来(1,1)，范数根号2.这样一处之后，然后平方和就变得单位化了。

线性运算

加减与数乘都是对应分量做运算。
加法：对应分量做加法
减法：对应分量做减法
数乘：数乘以每个分量
对应的8条运算规律

线性组合(表示)

对，对，对，就是从这里线性代数变得更加理论化。后面的线性相关求极大无关组都是从这里起源的。

定义

官方定义：

说的直白一点就是一个向量可以另外几个向量做线性运算得到。

例子

怎么说？按照定义找线性表示的系数。但是如果按照线性运算来看，直接统统设出来，然后按照运算一个个解决。

向量组的等价

官方定义：

直接可以理解成，我的向量可以由你做运算来得到，你的向量可以由我做运算来得到。

向量组的线性相关性

刚才之前小节来的是线性组合(表示)，现在是线性相关性。放出官方定义：

就是寻找一组k是否存在，如果存在那肯定是线性相关的，反之就是线性无关的。
对于后面两三个定义，简直是福利！

其实了解了这个，才发现如何鉴定两个向量是否线性相关，直接看他们对应分量成比例

例子

大家会发现，从这里任意取两个向量，它们都是不成比例，因此无法线性相关。

向量组的相关性

如果把这些系数做成行列式，行列式为0，那么就线性相关的，如果不为0那就线性无关的。
这时候可以轻松回答这个问题：

这个为什么？因为含有零的向量，它的行列式为0.

例子

先把结论设出来，然后再把β那个式子带进去，利用线性无关得出表示系数为0，整出行列式，算一下行列式的值，推出结论线性无关。

相关性的判定及有关重要结论

没错，就是从这里，结论不去背诵，然后就开始有点懵的鸭坯。

线性相关与线性组合的关系定理

如果纯粹讲定理是很枯燥的，如果讲定理背后蕴含的做题原则就很有东西了。
线性相关===>组合后式子为0
线性表示====>对应分量成比例
因此就可以直接从前面推出后面
因为相关，组合式子为0，设出一个系数不为0，一个可由另外m-1线性表示了，这样必要性就证明了。
反之证明充分性的时候扣紧定义，就可以推回来

总结：紧扣定义产生的效果，让我们从繁复的条件中找到曙光。

添加向量无关变有关

相关性的判定定理

在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关则整个向量组也必定线性相关。

它的逆否命题就可以变成推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都线性无关。

用秩判定相关性

r(A)

推论1：当m>n时,m个n维向量线性相关.
推论2：任意m个n维向量线性无关的充要条件由它们构成的矩阵A=A(m*n)的秩r(A)=m.
推论3:任意n个n维向量线性无关的充要条件由他们构成的方阵A的行列式不等于零。或r(A)=n.
推论4: 任意n个n维向量线性相关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式等于零。或r(A)

添加分量线性无关向量组

线性无关的向量组，添加分量后仍旧线性无关。
讲了一大堆定理，还是围绕判定和添加分量后继续判断有关。

例子

先给问题相相面，这是让我们用p确定，线性无关。
因此把行列式写出来，默念口诀4个4维向量r(A)<4就可以了，然后即可往后面做。

向量组的极大无关组

向量组的极大无关组它是基于之前的线性相关和线性表示。

这个可以理解成其中的一个向量不能由另外向量线性表示，若添上一个向量他就可以线性表示了，那么这些向量组就是向量T的极大无关组

求向量组的极大无关组

把他们做成矩阵形式，然后按照判断秩与向量的个数，得出向量的极大无关组
r(A)=2<3，说明秩小于向量的个数，可以说它们三个向量线性相关。

相关推论

一提到推论，就很难将他们说明白，

这个推论由定理推的，这个定理是由线性表示来证明的。

反过来去证明就是能出来，推论中若线性无关那就r<=s，反之那就r>s.

然后在看这个的时候，嘴里默念，任意两个线性无关的等价向量组所含向量个数相等，一个向量组…这里可以看出极大无关组的向量个数是可以确定的。

向量组的秩

极大无关组的所含向量个数称为向量组的秩。从这里我们会探寻如何确定向量组的秩。

向量组的等价

两个维数相同的向量组，各自都可以由对方线性表示。

练习

这道题还是把他们摆开，然后因为线性相关可以做线性运算，然后算出相关。k=±1

向量组的秩的求法

其实本小节就是个练习课，在练习中给出了定义。

求向量组的秩及极大无关组

列摆行变换将矩阵化为梯形阵后，秩即求出来了。这时，只要在每一高度上取一个向量，相同高度取左，即可得到极大无关组。

向量空间

向量在非空集合中做加法或数乘运算还在空间里，那么称这种空间为向量空间。

向量空间的基

若n维向量空间中向量组，各向量线性无关，有一个向量α存在的话，可以线性表示那么就称它们是V的一个基。

向量空间的维数

基中所含向量个数r称为向量空间的维数。

提示

若将向量空间视作向量组，则基就是向量组的极大线性无关组，维数就是向量组的秩.
因此，基与维数的求法类似于向量组的极大无关组与秩的求法。

向量在基下的坐标

看来只需要去寻找方法做就行了。

向量组有了，维数就是向量组的秩，根据极大线性无关组就是向量组空间的一组基

练习

先按照基下的坐标把定义先求出来。然后把它变成矩阵方程形式，最后进行求解。

练习

因为这个他组成的行列式不为0，因此满秩，所以线性无关，因此任一三维向量可由a1,a2,a3唯一线性表示，然后推出属于。

向量的正交性

向量的内积

两个向量对应分量做乘法。然后加起来。


看起来是显而易见的，但是如果不去记忆，就会在证明中颇费周折。

向量的单位化

单位化在数学建模中也运用的特别多，比如去除量纲。

向量的正交性

就是这个正交，在后面别说建模了，就连二次型和相似对角形都运用广泛。

也就是这个

为0.若一组向量组都相互正交那么就说这个向量组为正交向量组。

这种也称为单位正交组或者标准正交组。

正交向量组的性质

正交向量组可以推出线性无关。

向量组的正交规范化

斯密特正交化法被广为流传，还是记住吧:(

正交矩阵

若a的转置乘以A=E，则称A为n阶正交矩阵。

正交矩阵的判定

若A为正交矩阵，它乘以它的转置应该是等于E的

练习

尝试证明正交向量组必为线性无关的。
解答：从正交矩阵可以推出内积为0，然后凑出一组内积为0，然后根据k=0，推出线性无关。