FFT原理

FFT在通信领域有着很重要的地位，因为它运算快，易于硬件实现，例如OFDM符号的生成就可以直接利用FFT，今天我们就分析一下FFT的原理。

一、DFT复杂度
我们知道FFT是一种DFT的高效算法，称为快速傅立叶变换（fast Fourier transform）。那么为什么要有这种高效算法呢？就先从DFT说起。下面是DFT的公式：

式中

既然FFT是为了减小DFT的运算复杂度，那么咱们先分析DFT的运算复杂度。举一个简单的例子，假如采用N=3，采用的是BPSK调制，那么假设信号序列是101，经过BPSK调制之后，信号如下：

根据欧拉公式有：

其中N=3，所以对于k=0：

还有k=1和k=2时X(1)和X(2)。
从这个具体的例子中不难推导出DFT的运算复杂度，对于一个k值，需要进行4N次实数相乘和4N-2次实数相加，所以总共需要4N*N次相乘和N(4N-2)次相加，也就说它的复杂度是O(n^2)。

二、FFT推导
FFT方便处理长度N=2^M的情况，如果长度不是2的整数次幂的情况，则通过补零即可。
首先将x(n)分为奇偶两个序列之和：

则两个序列的长度都为N/2，则：

由于：

所以：

对于其中的X1(k)和X2(k)，我们可以推导下面过程：

所以：

即：
我们把一个N点的DFT拆成了两个N/2的DFT。同理逐渐拆下去，直到2^m的DFT拆成m-1个2点DFT为止。就以8点DFT为例，可以拆成两个4点DFT：

然后继续可以拆成4个2点DFT：

这就是FFT的蝶形运算。