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矩阵的二范数_矩阵的范数 之 常用不等式

矩阵的范数 之 常用不等式(一)

向量和矩阵的大小都可以用范数(norm)来衡量。 自己在学习过程中，向量的范数理解的比较快，而矩阵的范数一直觉得比较复杂， 理解也感觉不是特别深入。今天开始简单讲一下自己对几个常用矩阵范数不等式的理解，抛砖引玉，请大家指正。

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百度百科直接有矩阵范数定义

矩阵的二范数_矩阵的范数 之 常用不等式_第1张图片

上边等式或不等式是定义，可直接应用，不需要讲。我们平时经常用的，还有下边两个不等式：

0229df94c08d0c821ab3a8f856b154c1.png   

007e79666afaa74e139fbdc781b0ea44.png

A和B是矩阵，x是向量。 这两个公式在做放缩时经常用到， 学名叫做范数的相容性。 但是你知道为什么成立吗？

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答疑时间。

其实很简单，也是由范数的定义自然保证的。 矩阵常用范数为诱导范数(induced norm)，定义为

0ec13c33ad153b3efffb4611e9fb243f.png

P代表是什么范数(1-，2-等范数啦)。 对他因为们都适用，下边不带 p.

由定义， 显然可见(其实我读文献每次见到显然都很紧张，作者理解的显然和我往往不在一个频道。你有被显然支配的时候么？有请在评论+1。不过我们这里真的很显然)

矩阵的二范数_矩阵的范数 之 常用不等式_第2张图片

有了上式， 同理可得

矩阵的二范数_矩阵的范数 之 常用不等式_第3张图片

就是这么简单，主要是理解定义。

下篇介绍： 矩阵常用的二范数，怎么就等于它的奇异特征值呢？

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