矩阵的二范数_矩阵的范数 之 常用不等式

矩阵的范数 之 常用不等式(一)

向量和矩阵的大小都可以用范数(norm)来衡量。 自己在学习过程中,向量的范数理解的比较快,而矩阵的范数一直觉得比较复杂, 理解也感觉不是特别深入。今天开始简单讲一下自己对几个常用矩阵范数不等式的理解,抛砖引玉,请大家指正。

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百度百科直接有矩阵范数定义

矩阵的二范数_矩阵的范数 之 常用不等式_第1张图片

上边等式或不等式是定义,可直接应用,不需要讲。我们平时经常用的,还有下边两个不等式:

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A和B是矩阵,x是向量。 这两个公式在做放缩时经常用到, 学名叫做范数的相容性。 但是你知道为什么成立吗?

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答疑时间。

其实很简单,也是由范数的定义自然保证的。 矩阵常用范数为诱导范数(induced norm),定义为

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P代表是什么范数(1-,2-等范数啦)。 对他因为们都适用,下边不带 p.

由定义, 显然可见(其实我读文献每次见到显然都很紧张,作者理解的显然和我往往不在一个频道。你有被显然支配的时候么?有请在评论+1。不过我们这里真的很显然)

矩阵的二范数_矩阵的范数 之 常用不等式_第2张图片

有了上式, 同理可得

矩阵的二范数_矩阵的范数 之 常用不等式_第3张图片

就是这么简单,主要是理解定义。

下篇介绍: 矩阵常用的二范数,怎么就等于它的奇异特征值呢?

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