NNDL 作业12：第七章课后题

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习题7-1

在小批量梯度下降中,试分析为什么学习率要和批量大小成正比.

在小批量梯度下降中有：

其中,则

因此我们要使得参数最优，则为最优的时候的常数，故学习率要和批量大小成正比。

习题7-2

在Adam算法中,说明指数加权平均的偏差修正的合理性（即公式(7.27)和公式(7.28)).

在Adam算法中：

因此当的时候：

因此可以发现此时梯度消失，因此需要进行偏差偏正

习题7-9

证明在标准的随机梯度下降中,权重衰减正则化和l,正则化的效果相同.并分析这一结论在动量法和 Adam算法中是否依然成立.
L2正则化和权值衰减并不是一回事，但是可以根据学习率对权值衰减因子进行重新参数化，从而使SGD等价。

以λ为衰减因子，给出了权值衰减方程。

在以下证明中可以证明L2正则化等价于SGD情况下的权值衰减：

首先考虑下面图中给出的L2正则化方程。我们的目标是对它进行重新参数化，使其等价于上式中给出的权值衰减方程

找到L2正则化损失函数相对于参数w的偏导数(梯度)，如下式所示。

得到损失函数的偏导数结果后，将结果代入梯度下降学习规则中，如下式所示。代入后，打开括号，重新排列，使其等价于在一定假设下的权值衰减方程。

可以注意到，最终重新排列的L2正则化方程和权值衰减方程之间的唯一区别是α(学习率)乘以λ(正则化项)。为了得到两个方程，我们用λ来重新参数化L2正则化方程。

将λ’替换为λ，对L2正则化方程进行重新参数化，将其等价于权值衰减方程，如下式所示。

分析这一结论在动量法和Adam算法中是否成立？
L2正则化梯度更新的方向取决于最近一段时间内梯度的加权平均值。
当与自适应梯度相结合时（动量法和Adam算法），
L2正则化导致导致具有较大历史参数 (和/或) 梯度振幅的权重被正则化的程度小于使用权值衰减时的情况。

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总结

这是本学期的最后一个作业，经过这一学期的学习我对深度学习有了更加深入的了解。通过本次作业知道了网络优化的几个常用算法，以及为什么在小批量梯度下降中学习率与权重大小成正比等。