线性代数之——特征值和特征向量

线性方程 $Ax=b$ 是稳定状态的问题，特征值在动态问题中有着巨大的重要性。$du/dt=Au$ 的解随着时间增长、衰减或者震荡，是不能通过消元来求解的。接下来，我们进入线性代数一个新的部分，基于 $Ax=\lambda x$，我们要讨论的所有矩阵都是方阵。

1. 特征值和特征向量

几乎所有的向量在乘以矩阵 $A$ 后都会改变方向，某些特殊的向量 $x$ 和 $Ax$ 位于同一个方向，它们称之为特征向量。

$$Ax=\lambda x$$

数字 $\lambda$ 称为特征值。它告诉我们在乘以 $A$ 后，向量是怎么被拉伸、缩小、反转或者不变的。 $\lambda =0$ 意味着特征向量存在于矩阵的零空间中。任意向量都是单位矩阵的特征向量，因为 $Ix=x$，其特征值为 1。

要计算特征值的话，我们只需要知道 $det(A-\lambda I)=0$ 即可。

如果 $x_1$ 乘以 $A$ 的话，我们仍然得到 $x_1$，任意 $A$ 的乘方仍然得到 $A^n{x}_1=x_1$ 。如果 $x_2$ 乘以 $A$ 的话，我们得到 $\frac{1}{2}{x}_2$，再乘以 $A$ 我们得到 $(\frac{1}{2}{)}^2{x}_2$。

当 $A$ 被平方的时候，其特征向量不变，特征值也变为平方。

这种模式将会继续保持，因为特征向量一直待在他们自己的方向，不会改变。

其它向量都会改变方向，但它们可以表示为特征向量的线性组合。

当我们将这个向量乘以 $A$ 后，每个特征向量都乘以了它们对应的特征值。

利用这个特性，我们可以进行 99 次乘法。

特征向量 $x_1$ 处于稳定状态，因为 ${\lambda }_1=1$，所以它不会改变。特征向量 $x_2$ 处于衰减状态，因为 ${\lambda }_2=0.5$，乘方次数很大时，它就相当于消失了。

上述这个特殊的矩阵是一个马尔科夫矩阵，它的每个元素都为正并且每一列相加之后和为 1，这保证了它的最大特征值为 1。

对于投影矩阵，它的特征值为 0 和 1。$\lambda =1$ 对应于稳定状态，投影矩阵将列空间的所有向量都投影到列空间中去，也即还是它自身，$P{x}_1=x_1$。$\lambda =0$ 对应于零空间，投影矩阵将零空间的所有向量都投影到零向量，$P{x}_2=0$。

对于镜像矩阵，它的特征值为 1 和 -1。$\lambda =1$ 说明乘以矩阵 $R$ 后特征向量 $x_1$ 不变，$\lambda =-1$ 说明乘以矩阵 $R$ 后特征向量 $x_2$ 变为相反方向。

同时，由于 $R=2P-I$，因此投影矩阵和镜像矩阵有着相同的特征向量。如果 $Px=\lambda x$，那么

$$(2P-I)x=2Px-Ix=(2\lambda -1)x$$

2. 特征值的计算

$$Ax=\lambda x\to (A-\lambda I)x=0$$

如果上述式子有非零解，那么 $A-\lambda I$ 是奇异的，也就是行列式为零。因此，我们先通过下式求出特征值。

$$det(A-\lambda I)=0$$

然后，针对每个特征值，再通过求解 $(A-\lambda I)x=0$ 来找到特征向量。

一些 $2\times 2$ 矩阵可能只有一个特征向量，这时候，它的两个特征值相同。同理，$n\times n$ 的矩阵如果没有 $n$ 个线性不相关的特征向量，那么就不能将任意一个向量都表示为特征向量的线性组合。

消元过程通常会改变矩阵的特征值，三角型矩阵 $U$ 的对角线元素即为特征值，但它们不是矩阵 $A$ 的特征值。

但是，我们可以从矩阵中很快地就发现特征值的乘积以及和。

$n$ 个特征值的乘积就是矩阵的行列式值。$n$ 个特征值的和就是矩阵 $n$ 个对角线元素的和。

主对角线上元素的和称为矩阵的迹（trace）。

另外，特征值也可能会不是实数。

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