谱图卷积（Spectral Graph Convolution)

• 谱图卷积（Spectral Graph Convolution）

正定矩阵和半正定矩阵：

【定义1】给定一个大小为  的实对称矩阵 A ，若对于任意长度为 n 的非零向量 x ，有恒成立，则矩阵 A 是一个正定矩阵。

【定义2】给定一个大小为  的实对称矩阵 A ，若对于任意长度为 n 的非零向量 x ，有 恒成立，则矩阵 A 是一个半正定矩阵。

 

拉普拉斯矩阵的谱分解：

拉普拉斯矩阵作为半正定矩阵，能够进行谱分解且对角元一定是非负数： ;

同时，作为对称矩阵， --> 

 

Graph上的傅里叶变换：

传统Fourier变换的变换基为, Fourier逆变换的变换基为；

而Graph Fourier变换的变换基为, Fourier逆变换的变换基为；

拉普拉斯的特征向量（）为傅里叶变换的基，在Graph上做傅里叶变换 = 将Graph使用拉普拉斯矩阵特征向量的线性组合表示。

因此，对于Graph中节点的特征, 其傅里叶变换为, 傅里叶逆变换为。

 

谱图卷积：

卷积的一般形式：。

在Graph中：。