算法竞赛部分算法总结(一)

本文写于2015年暑假,当年文笔稚嫩,且内容并不全面,仅供参考。总结内容包括搜索、图论、动态规划、数据结构与数论等。
转载自我的个人网站 https://wzw21.cn/2021/04/13/algorithms/

目录

  • 搜索
    • DFS
    • BFS
    • 优缺点
    • 剪枝
  • 图论
    • 图的遍历
    • 最短路径
    • 最小生成树
    • 拓扑排序
    • 强连通分量
    • 二分图匹配
  • 动态规划
    • 普通的动态规划
    • 背包型动态规划
    • 状态压缩动态规划
    • 树形动态规划
    • 动态规划的优化
  • 数据结构
    • 基本数据结构
    • 树状数组
    • 线段树
    • 分块
    • 莫队
    • 可持久化数据结构
    • 平衡树
    • 树上信息维护
    • 树链剖分
    • 树的点分治:
  • 数论
    • 欧几里德和扩展欧几里德定理
    • 唯一分解定理(算术基本定理)
    • 欧拉函数
    • 快速幂,矩阵快速幂
    • 费马小定理
    • 逆元
    • 二项式定理
    • 容斥原理
    • 排列组合
  • 其它
    • 分治与二分
    • 贪心
    • 排序

搜索

DFS

深度优先搜索(Depth-first Search,DFS),基于递归的搜索方式,它的特点是由一个状态拓展一个状态,然后不停拓展,直到找到目标或者无法继续拓展结束一个状态的递归。可以在数列中进行搜索,也可在坐标系中进行搜索。

BFS

广度优先搜索(Breadth-First Search,BFS),基于队列这种数据结构的搜索方式,它的特点是由每一个状态可以扩展出许多状态,然后再以此扩展,直到找到目标状态或者队列中头尾指针相遇,即队列中所有状态都已处理完毕。

优缺点

DFS:对于解决遍历和求所有问题有效,对于问题搜索深度小的时候处理速度迅速,然而在深度很大的情况下效率不高

BFS:对于解决最短或最少问题特别有效,而且寻找深度小,但缺点是内存耗费量大(需要开大量的数组单元用来存储状态)。

剪枝

由于时间和空间的局限性,搜索一般只能解决数据量小的问题。所以我们需要用不同的方法剪枝。剪枝方法包括:

  • 记忆化搜索(与DP类似);
  • 从方法上剪枝,如采用分枝定界,启发式搜索等,适用范围较广;
  • 双向进行搜索或者反向进行搜索;
  • 使用其它小技巧,例如卡时。这类方法适用性虽不如以上,有时甚至只能适用一道题,但也十分有效,并且几乎每道题都存在一些这样那样的剪枝技巧,只是每题有所不同而已。

图论

图论是一个应用十分广泛而又极其有趣的数学分支。图即是由若干个不同顶点与连接其中某些顶点的边所组成的图形。
图的存储方式有邻接矩阵、边集数组和邻接表,其中邻接表适用于数据规模比较大的图的存储,也比较好用。

图的遍历

图的遍历有两种遍历方式:深度优先遍历和广度优先遍历。

最短路径

即求任意两点之间的最短路径。
四种最短路算法:

  • Floyd算法:三重循环,枚举每一种三个点的组合,可以一次求出任意两点的最短路。是一种动态规划算法,对于稠密图效果最好,边权可正可负。O(n^3)
  • Dijkstra 算法:单个源点到其他顶点的最短路,蓝白点思想,找dis最小的u,更新v。不适用于负边权,可以进行堆优化。未优化O(n^2),优化O(nlogn)
  • Bellman-ford 算法: 迭代n-1次,检查每条边,进行多次松弛操作,可发现负圈。O(nm)
  • SPFA:用FIFO队列代替Bellman的循环检查。O(nlogn),较为常用

最小生成树

求图中权值最小的生成树。
两种算法:

  • Prim 算法:蓝白点思想,min[v]表示蓝点与白点相连最小边权。贪心思想。O(n^2)
  • Kruskal 算法:适用于稀疏图。利用并查集,将边权排序,不在同一个集合就连。O(eloge)

拓扑排序

适用于有向无环图,使每个点排在它所指向的点的前面。入度为0的入栈,没有就将栈顶元素出栈,将此点删掉。O(v+e)

强连通分量

对于一个强连通分量中的任意一对顶点(u,v),都能够保证分量中存在路径使得u->v,v->u。可缩点成为DAG
两种算法:

  • Kosaraju 算法:两次dfs,第二次将边翻转 O(v+e)
  • Tarjan 算法:找代表元,记下u能回溯到的最早的顶点的编号与u被搜索的编号。 O(v+e)

二分图匹配

当且仅当图的点可被划分为两个内部两两之间没有边的部分。

  • 判定:dfs交替染色
  • 最大匹配:匈牙利算法:从每个点找增广路,如果有,把此路上匹配边和非匹配边互换,得到匹配比之前多1
  • 最小点覆盖数=最大匹配数 最大独立集数=总点数-最大匹配数

动态规划

动态规划(Dynamic Programming,DP)是一种思想与手段。
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中,可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值,我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。

  • 明确阶段、决策、状态和状态转移方程。
  • 状态转移方程是核心。
  • 适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。

普通的动态规划

序列型(最长上升子序列)、区间型(石子合并)、棋盘型(过河卒)、划分型(乘积最大)动态规划。

背包型动态规划

01背包(可用滚动数组)、完全、多重、混合、二维、分组、有依赖。

状态压缩动态规划

一些问题状态中所包含的信息过多,如果要用数组来保存状态的话需要四维以上的数组。所以需要通过状态压缩来保存状态。用二进制的一个数来表示一种放法。将1和0分别表示两种状态,二进制数可以表示出所有状态。

树形动态规划

  • 树的最大独立集:节点u两种决策,不选,则问题转化为求出u的儿子的值,选,则所有u孙子加上自己。
  • 树的重心:dfs,u为根的子树节点等于它所有儿子节点的值加一。删掉u后,最大的连通块的节点数即可求出。
  • 树的最长路径:对于每个节点i,把所有根为其子节点的子树中根到叶子的最大距离求出,找出值前两大的相加再加2即为所求。

动态规划的优化

  • 数据结构优化:可用树状数组、线段树对所求最值进行优化。
  • 单调队列优化:单调队列是一种严格单调的队列,可以单调递增,也可以单调递减。队首位置保存的是最优解,第二个位置保存的是次优解…利用单调队列对dp方程进行优化,可将O(n)复杂度降至O(1)。只有形如 dp[i]=max/min (f[k]) + g[i] (k
  • 斜率优化:对于这样的一类DP方程f[i]=min{a[i]*x[j]+b[j]},a[i]是和i有关的函数,x[j],b[j]是和j有关的函数或常数。求解这个问题朴素是O(n^2)的,可以将它优化到O(n)或O(nlogn)。把它改写为-a[i]*x[j]+f[i]=b[j],
    把-a[i]看作斜率,f[i]看作截距,每一个决策相当于平面上一个点。最优决策在平面点集的凸包上。要求f[i]的最小值,就相当于将一条斜率为-a[i]的直线不断向上平移,碰到的第一个点就是截距最小的点。也就是f[i]的最优决策。

数据结构

数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下,精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。数据结构往往同高效的检索算法和索引技术有关

基本数据结构

栈,队列,堆,链表,并查集,树(二叉树、多叉树、森林)

树状数组

是一种查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和,但是每次只能修改一个元素的值。
lowbit(x)=x&-x (-x为x按位取反,末尾+1)。一个节点存这个数二进制下最右边1所对应值到它自己。前缀和Si,顺着i往左上走,修改Ai,从Ci往右上走。
注意是改成一个值还是添加一个值。

线段树

线段树是一种二叉搜索树,它将一个区间划分成一些单元区间,每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。使用线段树可以求最大值、最小值、区间和等,或者单点修改、区间修改。时间复杂度基本为O(logN)。
注意边的数组范围,一般要开四倍。

  • 查询:当前结点完全包含在查询区间?;向左;向右。
  • 单点修改:若是叶节点,直接更新,else 递归更左或右,再更本节点。
  • 区间修改:把一个lazy操作分解成不超过2h个,完全包含时,累加边界的lazy值(递归结束前维护此点信息,即此点及其祖先都会被维护)(查询时,考虑祖先节点对它的影响,增加一个参数表示当前区间所有祖先节点lazy值之和)
  • 值域线段树:可求逆序对,可求整个区间第k大。

分块

N可分成长度根号N的根号N块区间。

莫队

(不带修改,询问离线) 先分块,排序(左端点所属块编号,右端点大小);按排序for,转移到下一个时,for出少了的,for掉多了的。

可持久化数据结构

部分可持久化:链形;完全可持久化:树形;
用新建节点取代修改节点信息。(指针、vector)
主席树属于可持久化线段树,求区间第k大,对于序列的每一个前缀建一棵以序列的值为下标的线段树(可离散化),记录该前缀序列里出现的值的次数。

平衡树

  • Treap:略
  • Splay:把要查询的x提到根节点。单旋,双旋。插入,查询,同BST;删除时,把左子树内最大的splay上来,将右子树接到右边(两个儿子时),前驱后继,对节点splay然后找到左右子树中最大或最小。

树上信息维护

  • DFS序:性质:一棵子树其节点一定在一段连续区间中;
  • 祖先关系判断,子树和(换根,前缀和:距离、路径上第k小。
  • 欧拉(括号)序:出子树时节点也加在序列中:路径点权和(LCA转化为RMQ)

树链剖分

将树剖成不向交的链。向下连size大的,存一个top,树链剖分得到的序列也是dfs序。分成的链(连起来)作为维护的序列。

  • 性质:如果(v,u)为轻边,则size(u)*2

树的点分治:

  • 树的重心:遍历所有点,删除此点后,最大的那一块最小 min{max(size)}
  • 性质:删除重心后最大的那一块不超过树的一半。
  • 重心C:分为过C的路径和在C的子树中的路径。

数论

数论是纯粹数学的分支之一,主要研究整数的性质。
做数论题前,一般先在纸上推出公式或找出规律,再用各种定理或者是方法处理大的数据。

欧几里德和扩展欧几里德定理

欧几里德即辗转相除,目的是求最大公约数, gcd(a,b)=gcd(b,a%b), 有存在性唯一性,复杂度O(logn);
扩展欧几里德,ax+by=gcd(a,b),求满足的x、y。x1=y2, y1=x2-(a/b)y2;x1与y1的值可由x2、y2推知,拓展欧几里得算法就是不断地的将b放小,直至b等于0,最后反推求回x和y。主要用于解不定方程、解线性同余方程。
注意:x*y=gcd(x,y)*lcm(x,y)

唯一分解定理(算术基本定理)

N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=p1a1+p2a2+p3a3……+pkak;
唯一性证明:若p|ab,则p|a或p|b。 设n= p1a1+p2a2+p3a3……=q1b1+q2b2……
N为最小的不符合的数,则p1|q1b1+q2b2,即q1q2…中有一个能被p1整除,不妨设为q1,而q1为质数则p1=q1。假设a1>b1,p1a1-b1p2a2…=q2b2q3b3…。同上p1能整除q2,q3…中的数,但p1=q1!=qi 所以不存在a1>b1。同理a1不会小于b1,所以a1=b1。那么n0= p2a2+p3a3……= q2b2……,而n是最小有多种分解的,
所以n0只有一种分解,推出n只有一种分解。

欧拉函数

欧拉函数是积性函数,欧拉定理 (a,n)=1则a^φ(n) ≡1(mod n)。
欧拉筛法求欧拉函数,欧拉筛法筛素数即线筛。复杂度 O(n)
线筛:对于当前的一个数i,欧拉筛法把从2,3,5…到小于 i 的最大素数分别和 i 相乘得到的数标记成合数。并且过程中一旦发现 i % (p[j]) == 0,则跳出循环。保证每个合数只被他的最小素因子筛到一次

快速幂,矩阵快速幂

用到了二分的思想,快速高效的求a^b mod m. O(logn)
将所求的幂不断除以2,改变底数,注意要先乘再模。
矩阵乘法:m × \times ×n与n × \times ×p -> m × \times ×p 。第[i,j] 上的数为矩阵一第i行上的n个数与矩阵二上第j列上的n个数,对应相乘的积之和。
矩阵快速幂,即将矩阵乘进行快速幂,可用于求一些数列。

费马小定理

a^(p-1) ≡ 1 mod m .

逆元

a^-1 ≡ a^(φ(m)-1) mod m.
1/a mod m 当m为素数时 =a^(m-2) mod m;
a/b mod m= a mod (mb)/b

二项式定理

(a+b)n=sigma (k=0->n) Cnk*ak*b(n-k)
(a+b)0=1,(a+b)1=a+b,(a+b)2-a2+2ab+b2 与杨辉三角形联系。

容斥原理

两个集合:A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |
三个集合:|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|

排列组合

P rn = n!/(n-r)! C rn = n!/r!(n-r)!

其它

分治与二分

分治的思想在于将问题划分为子问题来解决。
二分则包括二分查找与二分答案等。若题目要求最大值最小或最小值最大,应考虑二分答案。

贪心

找到贪心策略。

排序

各种排序算法。

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