c++单链表 一元多项式求和_专题:Chebyshev多项式

c++单链表 一元多项式求和_专题:Chebyshev多项式_第1张图片

我们先给出两类Chebyshev多项式的定义:

第一类Chebyshev多项式:由递推式

所确立的一系列多项式称为第一类Chebyshev多项式.

第二类Chebyshev多项式:由递推式

所确立的一系列多项式称为第二类Chebyshev多项式.

在本专题中,我们主要研究第一类Chebyshev多项式.


一个比较简陋的目录:

  1. 第一类Chebyshev多项式的相关简单性质
  2. Chebyshev逼近理论(简)
  3. 第一类Chebyshev多项式的相关性质(比1深一点)及常用引理
  4. 练习

第一类Chebyshev多项式的相关简单性质

这里我们来研究第一类Chebyshev多项式的性质.

注意第一类Chebyshev多项式的三角形式:

由此我们知道这类多项式满足的重要性质(其实也可以作为定义):

性质1:

由上面的递推式归纳我们可以得出:

性质2:Chebyshev多项式

是n次代数多项式.

性质3:Chebyshev多项式

的最高次幂项
的系数为
.

归纳易证,这里给出一种非归纳的证明.

的系数,有:

证毕.

性质4:

时有
(由性质1平凡)

下面的性质给出了这类多项式的根的分布.

性质5:

中有n个不同的实根

其实由性质1也是平凡的.

性质6:

中有n+1个点
,轮流取最大值1和最小值-1.

其实由性质1还是平凡的.

性质7:当n为奇数时,

是奇函数;当n为偶数时,
是偶函数.

仍然由性质1平凡.


Chebyshev逼近理论(简)

下面来阐述一些Chebyshev逼近的相关理论:

在这之前,我们先对一些基本的概念作一定了解,这些概念包括:线性空间的定义,线性无关组和线性相关组的定义,线性空间模的定义,

上的模运算定义,交错点组的定义,最佳一致逼近的定义,标记:C[a,b]以及

对这些概念有基本了解的可以继续往下读,不了解这些基本概念则可先转到文章马康哲:对Chebyshev多项式专题的几个概念的解释对这些概念进行一定了解再往下读.

下面是正文:

我们介绍一个关于Chebyshev逼近的一个重要定理:

定理1:在

上 ,在首项系数为1的一切n次多项式
中,
对0的偏差最小,即:

证明:反证法.

若存在另一n次首一多项式

使得

由于
的交错点组,故
处轮流取
,根据上述不等式,易知:

因此

轮流取正负号.

由零点存在性定理知:

至少有n个零点.

但由于

均为n次首一多项式,故:
为次数不超过n-1的多项式,由多项式恒等定理,
,即
与假设矛盾,从而定理1成立,证毕.

注:1.由定理1推知所有n次首一多项式在区间[-1,1]的最大值满足:

2.注意定理1证明的手法,在后面的定理证明中我们经常会使用这种手法.

定理2:如果

,则集
中存在一个元素是
的最佳Chebyshev逼近元素.

证略.

定理3:假设

,那么
的最佳Chebyshev逼近元素的充要条件是:误差曲线
有一个至少有n+2个点的交错点组.

这里我们只证充分性.

假设

有一个交错点组,它包含有n+2个点
.

不是
的最佳Chebyshev逼近元素,则存在某一异于P的多项式
使:

按照模的定义

,这里
取-1或1,此处不妨设取1.

我们有:

由上我们可知

在n+2个点
交替变号,也就是说
上至少有n+1个根,由于
,由多项式恒等定理可知:
,矛盾,故假设不成立,从而定理三充分性获证.

推论一:如果

,那么在
中存在唯一的元素为
的最佳Chebyshev逼近.

推论二:如果

,则其最佳一致逼近n次多项式就是
上的某个n次Lagrange插值多项式.

推论三:如果函数

有n+1阶导数且
在区间
保号,那么区间
的端点属于
的交错点组.

三个推论的证明:

推论一的证明:假设

都属于
并且都是
的最佳逼近.现在定义:

并记:

那么:

从而

也是
的最佳逼近.于是有点集:

满足

由上式对于

,有:

易知所有不等号取等.

从而有

这意味着有n+2个根,而只有

才有可能,故推论一得证.

推论二的证明:

的最佳逼近n次多项式,由定理3知:
要么恒为0,要么在
中有n+2个点交替变号,而后一种情形,意味着
至少有n+1个根,于是
刚好是以这n+1个根为插值节点的Lagrange插值多项式,推论二得证.

推论三的证明:反证法.

设a或b不属于

的交错点组,那么
在开区间
至少有n+1个点
,使得

由Rolle定理容易明白在

必有一数
,使:

但是

从而推出有一数

,使:

而这跟

保号的假设矛盾,推论三得证,

关于Chebyshev逼近理论的内容到此为止,我们来探究Chebyshev多项式的其他美妙性质.


第一类Chebyshev多项式的相关性质(比1深一点)及常用引理

1.

的其他表示形式:

表示1:

表示2:

两种表示的证明:

表示1的证明:由多项式恒等定理,我们只需证明

该表示成立即可.

此时令

.

则:

从而表示1得证.

表示2只需通过表示1二项式展开.

实际上,第二类Chebyshev多项式也有类似的拓广形式,即:

此处不赘述证明.

2.

的另一种递推式:

用开头的递推式易证.

3.函数列

的生成函数.(其实感觉好像没什么大用但是感觉很漂亮所以也放上来啦)

证明:令

有:

4.重要引理:

其中

表示对
求和.

证明:数学归纳法.

归纳奠基平凡.假设结论对n-1,n成立.

由开头给出的递推式易知:

于是

所以n+1的情形也成立,由归纳法原理引理得证.

5.一个特殊形式的Chebyshev多项式(

变式):

相比于

,这种形式的多项式有一个优点.

即:它们都首一!

由此多项式我们可以仿照

的性质探究得出下列性质:

1)

2)

时有

...

还有一些根的分布的性质,此处不再赘述(因为完全可以换元转化为

好像差不多了,下面是练习


练习

1.求出一个最大的A,对于A存在一个实系数多项式

满足
.

2.(高考题)函数

的最大值为M,求M的最小值.

3.用非代数数论方法证明:马康哲:一个经典结论

4.将16个数:

分为两组,每组8个数,记其中一组的8个数为A,另一组的8个数为B.请给出一种分组方案使
最小,并说明理由.(2017CGMO p4)

正式更完w

你可能感兴趣的:(c++单链表,一元多项式求和)