c++单链表 一元多项式求和_专题：Chebyshev多项式

我们先给出两类Chebyshev多项式的定义：

第一类Chebyshev多项式：由递推式

所确立的一系列多项式称为第一类Chebyshev多项式.

第二类Chebyshev多项式：由递推式

所确立的一系列多项式称为第二类Chebyshev多项式.

在本专题中，我们主要研究第一类Chebyshev多项式.

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一个比较简陋的目录：

1. 第一类Chebyshev多项式的相关简单性质
2. Chebyshev逼近理论（简）
3. 第一类Chebyshev多项式的相关性质（比1深一点）及常用引理
4. 练习

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第一类Chebyshev多项式的相关简单性质

这里我们来研究第一类Chebyshev多项式的性质.

注意第一类Chebyshev多项式的三角形式：

由此我们知道这类多项式满足的重要性质（其实也可以作为定义）：

性质1：

由上面的递推式归纳我们可以得出：

性质2：Chebyshev多项式

是n次代数多项式.

性质3：Chebyshev多项式

的最高次幂项

的系数为

.

归纳易证，这里给出一种非归纳的证明.

记

为

的系数，有：

证毕.

性质4：

时有

(由性质1平凡)

下面的性质给出了这类多项式的根的分布.

性质5：

在

中有n个不同的实根

其实由性质1也是平凡的.

性质6：

在

中有n+1个点

,轮流取最大值1和最小值-1.

其实由性质1还是平凡的.

性质7：当n为奇数时，

是奇函数；当n为偶数时，

是偶函数.

仍然由性质1平凡.

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Chebyshev逼近理论（简）

下面来阐述一些Chebyshev逼近的相关理论：

在这之前，我们先对一些基本的概念作一定了解，这些概念包括：线性空间的定义，线性无关组和线性相关组的定义，线性空间模的定义,

上的模运算定义,交错点组的定义,最佳一致逼近的定义，标记：C[a,b]以及

对这些概念有基本了解的可以继续往下读，不了解这些基本概念则可先转到文章马康哲：对Chebyshev多项式专题的几个概念的解释对这些概念进行一定了解再往下读.

下面是正文：

我们介绍一个关于Chebyshev逼近的一个重要定理：

定理1：在

上 ，在首项系数为1的一切n次多项式

中，

对0的偏差最小，即：

证明：反证法.

若存在另一n次首一多项式

使得

由于

是

的交错点组，故

在

处轮流取

,根据上述不等式，易知：

因此

在

轮流取正负号.

由零点存在性定理知：

至少有n个零点.

但由于

均为n次首一多项式，故：

为次数不超过n-1的多项式，由多项式恒等定理，

，即

与假设矛盾，从而定理1成立，证毕.

注：1.由定理1推知所有n次首一多项式在区间[-1,1]的最大值满足：

2.注意定理1证明的手法，在后面的定理证明中我们经常会使用这种手法.

定理2：如果

,则集

中存在一个元素是

的最佳Chebyshev逼近元素.

证略.

定理3：假设

,那么

是

的最佳Chebyshev逼近元素的充要条件是：误差曲线

在

有一个至少有n+2个点的交错点组.

这里我们只证充分性.

假设

有一个交错点组，它包含有n+2个点

.

若

不是

的最佳Chebyshev逼近元素，则存在某一异于P的多项式

使：

按照模的定义

,这里

取-1或1，此处不妨设取1.

我们有：

由上我们可知

在n+2个点

交替变号，也就是说

在

上至少有n+1个根，由于

，由多项式恒等定理可知：

，矛盾，故假设不成立，从而定理三充分性获证.

推论一：如果

,那么在

中存在唯一的元素为

的最佳Chebyshev逼近.

推论二：如果

,则其最佳一致逼近n次多项式就是

在

上的某个n次Lagrange插值多项式.

推论三：如果函数

在

有n+1阶导数且

在区间

保号，那么区间

的端点属于

的交错点组.

三个推论的证明：

推论一的证明：假设

和

都属于

并且都是

的最佳逼近.现在定义：

并记：

那么：

从而

也是

的最佳逼近.于是有点集：

满足

由上式对于

，有：

易知所有不等号取等.

从而有

这意味着有n+2个根，而只有

才有可能，故推论一得证.

推论二的证明：令

是

的最佳逼近n次多项式，由定理3知：

要么恒为0，要么在

中有n+2个点交替变号，而后一种情形，意味着

在

至少有n+1个根，于是

刚好是以这n+1个根为插值节点的Lagrange插值多项式，推论二得证.

推论三的证明：反证法.

设a或b不属于

的交错点组，那么

在开区间

至少有n+1个点

，使得

由Rolle定理容易明白在

必有一数

，使：

但是

从而推出有一数

，使：

而这跟

在

保号的假设矛盾，推论三得证,

关于Chebyshev逼近理论的内容到此为止，我们来探究Chebyshev多项式的其他美妙性质.

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第一类Chebyshev多项式的相关性质（比1深一点）及常用引理

1.

的其他表示形式：

表示1：

表示2：

两种表示的证明：

表示1的证明：由多项式恒等定理，我们只需证明

该表示成立即可.

此时令

.

则:

从而表示1得证.

表示2只需通过表示1二项式展开.

实际上，第二类Chebyshev多项式也有类似的拓广形式，即：

此处不赘述证明.

2.

的另一种递推式：

用开头的递推式易证.

3.函数列

的生成函数.（其实感觉好像没什么大用但是感觉很漂亮所以也放上来啦）

证明：令

有：

4.重要引理：

其中

表示对

求和.

证明：数学归纳法.

归纳奠基平凡.假设结论对n-1，n成立.

由开头给出的递推式易知：

于是

所以n+1的情形也成立，由归纳法原理引理得证.

5.一个特殊形式的Chebyshev多项式（

变式）：

相比于

,这种形式的多项式有一个优点.

即：它们都首一！

由此多项式我们可以仿照

的性质探究得出下列性质：

1）

2）

时有

...

还有一些根的分布的性质，此处不再赘述（因为完全可以换元转化为

）

好像差不多了，下面是练习

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练习

1.求出一个最大的A，对于A存在一个实系数多项式

满足

.

2.(高考题)函数

的最大值为M，求M的最小值.

3.用非代数数论方法证明：马康哲：一个经典结论

4.将16个数：

分为两组，每组8个数，记其中一组的8个数为A，另一组的8个数为B.请给出一种分组方案使

最小，并说明理由.（2017CGMO p4）

正式更完w