说明:实际上EVD(特征分解)是SVD的一种特殊情况;逆是伪逆的特殊情况?,这在最小二乘当中有应用。
在“8点法”求解本质矩阵当中会有SVD分解,在3D到3D空间转换中,算法icp有SVD解法。SVD作为一种分解矩阵的方法,
有着广泛应用。
一、特征分解(手写word截图)
1 %%Matlab验证代码2 a=[1 2 3;2 1 3;3 3 6]3 [x,y]=eig(a) %%x矩阵每一列代表 lamda123 对应的特征向量4 diag(y) %% y矩阵的对角元素是对应特征值lamda123
二、 SVD分解和图像压缩
1 A = [1 2; 0 0; 0 0]2 [U, S, V] = svd(A);
和手动计算结果一致。
图像压缩实例
1 #include
2 using namespacestd;3
4 #include
5 using namespacecv;6
7 void printMat(Mat&matrix)8 {9 for (int j = 0; j < matrix.rows; j++)10 {11 for (int i = 0; i < matrix.cols; i++)12 {13 cout << matrix.ptr(j)[i] << ",";14 }15 cout <
20 //input: image : ...21 //radio : 压缩比率22 //ouput: Mat : 压缩后的灰度图
23 Mat compressJPG(Mat image, doubleradio)24 {25 SVD svd_1st(image, SVD::MODIFY_A);26 Mat W_ =Mat::zeros(svd_1st.w.rows, svd_1st.w.rows, CV_64F);27
28 //压缩比例:radio = m*n/(r*(m+n+1))29 //r = m*n / (radio*(m+n+1))
30 double m = double(image.rows);31 double n = double(image.cols);32 double r = m * n/(radio*(m + n + 1));33 int r_ = int(r);34 if (r_ >=svd_1st.w.rows)35 {36 cout << "errors in setting radio!" <
40 for (int i = 0; i < r_; i++)41 {42 W_.ptr(i)[i] = svd_1st.w.ptr(i)[0];43 }44
45 Mat image_compressed = svd_1st.u * W_ *svd_1st.vt;46 image_compressed.convertTo(image_compressed, CV_8U);47 returnimage_compressed;48 }49
50 intmain()51 {52 //<1> test SVD API of opencv
53 Mat A = (Mat_(3, 2) << 1, 2, 0, 0, 0, 0);54 cout << "原矩阵 A =" <
59 cout << "奇异值矩阵 W =" <
76 //*******************************************************************************************************77 //压缩图像例子78 //假设原矩阵 A 是 m x n;奇异值个数为r(也就是rank(A) = r)79 //那么压缩比例:radio = m*n/(r*(m+n+1))80 //分母分别是 r*m : 左奇异矩阵元素个数; r*n : 右奇异矩阵元素个数; r: 奇异值矩阵元素个数
81
82 Mat image = imread("2.jpg", 0);83 imshow("image", image);84 image.convertTo(image, CV_64F);85
86 Mat image_1st = compressJPG(image, 0.6);87 if (!image_1st.empty())88 {89 imshow("radio = 0.6", image_1st);90 imwrite("image_1st.jpg", image_1st);91 }92
93 Mat image_2st = compressJPG(image, 1);94 if (!image_2st.empty())95 {96 imshow("radio = 1", image_2st);97 imwrite("image_2st.jpg", image_2st);98 }99
100 Mat image_3st = compressJPG(image, 3);101 if (!image_3st.empty())102 {103 imshow("radio = 3", image_3st);104 imwrite("image_3st.jpg", image_3st);105 }106
107 Mat image_4st = compressJPG(image, 5);108 if (!image_4st.empty())109 {110 imshow("radio = 5", image_4st);111 imwrite("image_4st.jpg", image_4st);112 }113
114 Mat image_5st = compressJPG(image, 7);115 if (!image_5st.empty())116 {117 imshow("radio = 7", image_5st);118 imwrite("image_5st.jpg", image_5st);119 }120
121 Mat image_6st = compressJPG(image, 9);122 if (!image_6st.empty())123 {124 imshow("radio = 9", image_6st);125 imwrite("image_6st.jpg", image_6st);126 }127
128 Mat image_7st = compressJPG(image, 20);129 if (!image_7st.empty())130 {131 imshow("radio = 20", image_7st);132 imwrite("image_7st.jpg", image_7st);133 }134
135 waitKey(0);136 return 1;137 }
可以看到压缩比率越大,图像失真越明显。
可以看到压缩比率增大,图像体积变小,别小看一张图减小十几kb大小,对于视频网站来讲.......毋庸置疑,开源节流!
楼主不是专门研究图像压缩的,就不深究了,据说微信能将一张由iphone拍的照片(10Mb左右)压缩到几百kb,图像依然很清晰!
三、PCA降维
参考:https://zhuanlan.zhihu.com/p/21580949
给出PCA的一般数学步骤:
顺便给出一道例题:
依据上述步骤,我们来解一道题
投影后如图;
(顺便:如果用 特征值 2/5 对应的特征向量作为矩阵P;
可以看到,如果映射到一维数轴上,是有信息丢失的。你看下图,是主城成分,二维数据映射到一维空间,)
工程上,数据维度太高,其中又有许多冗余成分;这样处理起来效率不高。这时候,我们可以对数据经行降维。
PCA,即:主成成分分析,回想SVD分解图像压缩实例。我们保留最大的几个奇异值,就可以压缩数据的同时,还能最大化减少信息的损失。同理,通过多种线性变换,我们可以将原始数据降维,往往原始数据对应的协方差矩阵的多个奇异值/特征值中,将最大的几个值所对应的特征向量作为线性变换矩阵,可以起到降维作用。如上图,我们便是将最大特征值 2 对应的特征向量 作为矩阵P(P是什么?看上述PCA计算步骤)。你可以看看参考链接,另外为了更好理解PCA,你可以去看看有关PCA的应用,参考:
https://blog.csdn.net/HLBoy_happy/article/details/77146012