NumPy入门基础语法学习5
NumPy 数组的计算：通用函数
到目前为止，我们讨论了 NumPy 的一些基础知识。在接下来的几小节
中，我们将深入了解 NumPy 在 Python 数据科学世界中如此重要的原
因。明确点说， NumPy 提供了一个简单灵活的接口来优化数据数组的
计算。
NumPy 数组的计算有时非常快，有时也非常慢。使 NumPy 变快的关键
是利用向量化操作，通常在 NumPy 的通用函数（ ufunc ）中实现。本节
将介绍 NumPy 通用函数的重要性 —— 它可以提高数组元素的重复计算
的效率；然后，将会介绍很多 NumPy 包中常用且有用的数学通用函
数。
缓慢的循环
Python 的默认实现（被称作 CPython ）处理起某些操作时非常慢，一部
分原因是该语言的动态性和解释性 —— 数据类型灵活的特性决定了序列
操作不能像 C 语言和 Fortran 语言一样被编译成有效的机器码。
Python 的相对缓慢通常出现在很多小操作需要不断重复的时候，比如对
数组的每个元素做循环操作时。假设有一个数组，我们想计算每个元素
的倒数，一种直接的解决方法是：
import numpy as np
np.random.seed(0)
def compute_reciprocals(values):
output = np.empty(len(values))
for i in range(len(values)):
output[i] = 1.0 / values[i]
return output
values = np.random.randint(1, 10, size=5)
compute_reciprocals(values)
array([1.66666667e-001, 7.12919228e-225, 1.25522403e-311, 1.25522403e-311,
6.50368792e-172]) 这种实现方式可能对于有 C 语言或 Java 背景的人来说非常自然，但是
如果测试一个很大量的输入数据运行上述代码的时间，这一操作将非常
耗时，并且是超出意料的慢！我们将用 IPython 的 %timeit 魔法函数
big_array = np.random.randint(1, 100, size=1000000)
%timeit compute_reciprocals(big_array)
180 µs ± 12.5 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each) 完成百万次上述操作并存储结果花了几秒钟的时间.
通用函数介绍
NumPy 为很多类型的操作提供了非常方便的、静态类型的、可编译程
序的接口，也被称作向量操作。你可以通过简单地对数组执行操作来实
现，这里对数组的操作将会被用于数组中的每一个元素。这种向量方法
被用于将循环推送至 NumPy 之下的编译层，这样会取得更快的执行效
率。比较以下两个结果：
print(compute_reciprocals(values))
print(1.0 / values)
[1.66666667e-001 7.12919228e-225 1.25522403e-311 1.25522403e-311
6.50368792e-172]
[0.16666667 1. 0.25 0.25 0.125 ]
如果计算一个较大数组的运行时间，可以看到它的完成时间比 Python
循环花费的时间更短：
%timeit (1.0 / big_array)
6.1 ms ± 448 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)
NumPy 中的向量操作是通过通用函数实现的。通用函数的主要目的是
对 NumPy 数组中的值执行更快的重复操作。它非常灵活，前面我们看
过了标量和数组的运算，但是也可以对两个数组进行运算：
np.arange(5) / np.arange(1, 6)
array([0. , 0.5 , 0.66666667, 0.75 , 0.8 ]) 通用函数并不仅限于一维数组的运算，它们也可以进行多维数组的运
算：
x = np.arange(9).reshape((3, 3))
2 ** x
array([[ 1, 2, 4],
[ 8, 16, 32],
[ 64, 128, 256]], dtype=int32) 通过通用函数用向量的方式进行计算几乎总比用 Python 循环实现的计
算更加有效，尤其是当数组很大时。只要你看到 Python 脚本中有这样
的循环，就应该考虑能否用向量方式替换这个循环。
探索 NumPy 的通用函数
通用函数有两种存在形式：一元通用函数（ unary ufunc ）对单个输入操
作，二元通用函数（ binary ufunc ）对两个输入操作。我们将在以下的介
绍中看到这两种类型的例子。
数组的运算
NumPy 通用函数的使用方式非常自然，因为它用到了 Python 原生
的算术运算符，标准的加、减、乘、除都可以使用：
x = np.arange(4)
print("x =", x)
print("x - 5 =", x - 5)
print("x * 2 =", x * 2)
print("x / 2 =", x / 2)
print("x // 2 =", x // 2) #地板除法运算
x = [0 1 2 3]
x - 5 = [-5 -4 -3 -2]
x * 2 = [0 2 4 6]
x / 2 = [0. 0.5 1. 1.5]
x // 2 = [0 0 1 1]
还有逻辑非、 ** 表示的指数运算符和 % 表示的模运算符的一元通
用函数：
print("-x = ", -x)
print("x ** 2 = ", x ** 2)
print("x % 2 = ", x % 2)
-x = [ 0 -1 -2 -3]
x ** 2 = [0 1 4 9]
x % 2 = [0 1 0 1]
你可以任意将这些算术运算符组合使用。当然，你得考虑这些运算
符的优先级：
-(0.5*x + 1) ** 2
array([-1. , -2.25, -4. , -6.25])所有这些算术运算符都是 NumPy 内置函数的简单封装器，例如 + 运算符就是一个 add 函数的封装器：
np.add(x, 2)
array([2, 3, 4, 5]) 表 2-2 列出了所有 NumPy 实现的算术运算符。
表 2-2 ： NumPy 实现的算术运算符
另外， NumPy 中还有布尔 / 位运算符，这些运算符将在 2.6 节中进
一步介绍。
绝对值
正如 NumPy 能理解 Python 内置的运算操作， NumPy 也可以理解
Python 内置的绝对值函数：
x = np.array([-2, -1, 0, 1, 2])
abs(x)
array([2, 1, 0, 1, 2]) 对应的 NumPy 通用函数是 np.absolute ，该函数也可以用别名
np.abs 来访问：
np.absolute(x)
array([2, 1, 0, 1, 2])
np.abs(x)
array([2, 1, 0, 1, 2]) 这个通用函数也可以处理复数。当处理复数时，绝对值返回的是该
复数的幅度：
x = np.array([3 - 4j, 4 - 3j, 2 + 0j, 0 + 1j])
np.abs(x)
array([5., 5., 2., 1.]) 三角函数
NumPy 提供了大量好用的通用函数，其中对于数据科学家最有用
的就是三角函数。首先定义一个角度数组：
theta = np.linspace(0, np.pi, 3)
#现在可以对这些值进行一些三角函数计算：
print("theta = ", theta)
print("sin(theta) = ", np.sin(theta))
print("cos(theta) = ", np.cos(theta))
print("tan(theta) = ", np.tan(theta))
theta = [0. 1.57079633 3.14159265]
sin(theta) = [0.0000000e+00 1.0000000e+00 1.2246468e-16]
cos(theta) = [ 1.000000e+00 6.123234e-17 -1.000000e+00]
tan(theta) = [ 0.00000000e+00 1.63312394e+16 -1.22464680e-16]
这些值是在机器精度内计算的，所以有些应该是 0 的值并没有精确 到 0 。逆三角函数同样可以使用：
x = [-1, 0, 1]
print("x = ", x)
print("arcsin(x) = ", np.arcsin(x))
print("arccos(x) = ", np.arccos(x))
print("arctan(x) = ", np.arctan(x))
x = [-1, 0, 1]
arcsin(x) = [-1.57079633 0. 1.57079633]
arccos(x) = [3.14159265 1.57079633 0. ]
arctan(x) = [-0.78539816 0. 0.78539816]
指数和对数
NumPy 中另一个常用的运算通用函数是指数运算：
x = [1, 2, 3]
print("x =", x)
print("e^x =", np.exp(x))
print("2^x =", np.exp2(x))
print("3^x =", np.power(3, x))
x = [1, 2, 3]
e^x = [ 2.71828183 7.3890561 20.08553692]
2^x = [2. 4. 8.]
3^x = [ 3 9 27]
指数运算的逆运算，即对数运算也是可用的。最基本的 np.log 给
出的是以自然数为底数的对数。如果你希望计算以 2 为底数或者以
10 为底数的对数，可以按照如下示例处理：
x = [1, 2, 4, 10]
print("x =", x)
print("ln(x) =", np.log(x))
print("log2(x) =", np.log2(x))
print("log10(x) =", np.log10(x))
x = [1, 2, 4, 10]
ln(x) = [0. 0.69314718 1.38629436 2.30258509]
log2(x) = [0. 1. 2. 3.32192809]
log10(x) = [0. 0.30103 0.60205999 1. ]
还有一些特殊的版本，对于非常小的输入值可以保持较好的精度：
x = [0, 0.001, 0.01, 0.1]
print("exp(x) - 1 =", np.expm1(x))
print("log(1 + x) =", np.log1p(x))
exp(x) - 1 = [0. 0.0010005 0.01005017 0.10517092]
log(1 + x) = [0. 0.0009995 0.00995033 0.09531018]
当 x 的值很小时，以上函数给出的值比 np.log 和 np.exp 的计算
更精确。